从勾股定理说数学思想方法

从勾股定理说数学思想方法1第一页，共五十页，编辑于2023年，星期六数学思想方法第5讲从勾股定理说起2第二页，共五十页，编辑于2023年，星期六提纲：从勾股定理说起1教什么、学什么?2怎样在教学中导入数学探究3从面积测量到勾股定理的发现4秦九韶公式5希尔伯特多边形剖分定理6勾股定理的推广7蝴蝶定理的傻瓜证法3第三页，共五十页，编辑于2023年，星期六1.教什么?学什么?《高中数学课程标准》基本理念3:数学学习不应限于接受、记忆、模仿、练习倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学养成独立思考、积极探索的学习习惯4第四页，共五十页，编辑于2023年，星期六新课标的教学要求《高中课标》设立“数学探究”、“数学建模”、“数学阅读”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利条件，以激发学生的学习兴趣和创新潜能5第五页，共五十页，编辑于2023年，星期六未来的教师怎么办？通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程6第六页，共五十页，编辑于2023年，星期六这是“金牌之路”吗？传统应试教育:学生的练习3题1.(x)=(m-1)x2+[1-lg(m)]x+1是偶函数,求(10)、(-3.1)、(2)的大小顺序2.(x)=ax2+bx+c(a<0)对任意x都有(2-x)=(2+x),求不等式[lg½(x2+x+1/2)]<[lg½(2x2-x+5/8)]7第七页，共五十页，编辑于2023年，星期六应试教育:学生练习题3.函数y=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为(a).(1)求(a)的表达式.(2)若(a)=1/2,求a,并对此a求y的最大值.解y=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)

=2(cosx-a/2)2-(a2/2-2a+1)注题摘自《金牌之路—高中竞赛辅导》8第八页，共五十页，编辑于2023年，星期六2从勾股定理看：

怎样在教学中导入探究平凡的定理直观的问题观察与想象发现与证明9第九页，共五十页，编辑于2023年，星期六陈省身：几何学的最重要定理几何学家陈省身说：中学几何中最重要的就是“三角形内角和定理”与“勾股定理”，其它如“等腰三角形定理”就没有那么重要了。三角形内角和定理是欧几里得几何的一个基本定理，在非欧几何中它是不对的，这也是欧氏几何与其它几何不同的地方；勾股定理也重要，这个定理讲的是长度，长度和角度都很重要。几何是从GEO翻译过来的，就是讲量度。——摘自陈省身先生访谈录，数学通报第44卷200510第十页，共五十页，编辑于2023年，星期六三个不同教学层次知道勾股定理证明勾股定理发现勾股定理11第十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六知道勾股定理：简单知道勾股定理定理a2+b2=c212第十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六证明勾股定理：不困难最经典的证明1：112213第十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六勾股定理证明2图形最简洁的证明：c2=2ab+(b-a)2=a2+b214第十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六勾股定理证明3图形最怪异的证明：15第十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六发现勾股定理教学不容忽视的问题：勾股定理再发现16第十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六被误解的发现数方格发现勾股定理：17第十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六被误解的发现简单的验证并不是真正的发现再发现：亲历的体现；亲历的思考18第十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六3从面积测量到勾股定理的发现土地测量导致最初的几何学19第十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六一个自然的问题土地测量是否可能导致勾股定理的发现？20第二十页，共五十页，编辑于2023年，星期六九章算术：面积出入相补数学家怎样看“面积拼补”？21第二十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六数学家的问题；我对“发现”的观点怎样把两个正方形剖分拼补成为一个正方形？游戏一般的问题：真正的数学由此产生22第二十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六赵爽弦图:对再发现的启示青方、朱方、弦方23第二十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六赵爽弦图：提示勾股定理的发现刘徽：出入相补（Hilbert:面积剖分）112224第二十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六问题是数学发展的动力伽罗华（E.Galois1811-1832）说：最有价值的科学书籍是作者在书中明白指出了他所不明白的东西的那些书.遗憾的是,这还很少被人们所认识;作者由于掩盖难点,大多害了他的读者.25第二十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六

出入相补:刘徽公式2股股弦和=股弦和2-勾2

股弦和股弦勾方1126第二十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六4秦九韶公式秦九韶公式：勾股术的精彩应用

h股弦cba27第二十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六秦九韶公式=海伦公式28第二十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六秦九韶公式证明（1）只要证明股=h股弦cba29第二十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六秦九韶公式证明（2）勾2=弦2-股2=(b2-h2)-(c2-h2)=b2-c2.由刘徽公式

股==h股弦cba30第三十页，共五十页，编辑于2023年，星期六矩形剖分定理:1122ABCDＥＦ31第三十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六5Hilbert多边形剖分定理定理两个多边形面积相等则必剖分相等.证[多边形]=[若干三角形]=[若干矩形]=[若干正方形]=[一个正方形]（剖分相等）121232第三十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六问题1.几何角度:如何以面积方式推广勾股定理？问题2.代数角度:(a)三角形两边之和大于第三边（ab+c）.(b)直角三角形a2+b2=c2.怎样统一上面两个命题?6勾股定理推广33第三十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六

勾股定理推广：几何方式思路:1+2=3.定义ABC的补ADE.123ABCDE34第三十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六补三角形外积圆直径已知ABC补ADEABCDE35第三十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六定理*三角形两短边(交点A)上正方形面积

的和等于补三角形过A的外接圆直径与最

长边所组成的平行四边形的面积.

注直角三角形的补三角形就是它本身.36第三十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六勾股定理推广二：代数方式一个自然的问题：勾股定理：三边长的等量关系不等定理：两边之和大于第三边二定理能否统一？37第三十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六勾股定理推广二：代数方式思路：设三角形三边a、b、c，最长边为a，则a<b+c.直观想法:1<+,则存在实数t>1使1=()t+()t.因而at=bt+ct.38第三十八页，共五十页，编辑于2023年，星期六勾股定理推广二：代数方式(续)定理三角形三边分别为a、b、c，最长边为a，则(1)a<b+c(2)存在实数t>1使at=bt+ct

(3)ABC是锐角、直角、钝角三角形当且仅当t2、t=2、t2（分别）.39第三十九页，共五十页，编辑于2023年，星期六7蝴蝶定理的傻瓜证法蝴蝶定理圆内三条弦AB、CD、EF交于O，若O平分AB，则O也平分GH（如图）.ABCDFEO1234HG40第四十页，共五十页，编辑于2023年，星期六蝴蝶定理蝴蝶定理:一个近代初等几何定理大约1815年发现,1944年Month.AMS给了这个美丽字1987美国Math.Magazine给了15个证明张景中的面积法:真正的傻瓜证法41第四十一页，共五十页，编辑于2023年，星期六蝴蝶定理证明:张景中面积法张景中引理:共角三角形面积比等于共角夹边乘积之比42第四十二页，共五十页，编辑于2023年，星期六蝴蝶中的共角三角形观察蝴蝶中的共角三角形1、2、3、4ABCDFEO1234HG43第四十三页，共五十页，编辑于2023年，星期六蝴蝶定理证明证由正弦定理(s=absinab)共角三角形面积比等于夹边乘积之比.如图四个三角形面积比之积=1=1整理得GO=HO.44第四十四页，共五十页，编辑于2023年，星期六发现与探究是数学课程的主要目标20年来数学课程处于狂热的应试教育状态,愈演愈烈数学科学是人类理性的高度体现45第四十五页，共五十页，编辑于2023年，星期六数学中的理性数学家C.G.雅可比说：科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀,一个关于数的问题与一个关于宇宙的问题有同样的意义我们的期望：数学中充满问题和奥妙需要人们付出的是冷静与思考46第四十六页，共五十页，编辑于2023年，星期六复习思考题1.观察以下图形证明勾股定理.47第四十七页，共五十页，编辑于2023年，星期六复习思考题2.把边长是整数的直角三角形三边长称为勾股数,(3,4,5)是勾股数.有趣的是:勾股数(a,b,c)中至少有一个是3的倍数;至