宜宾市高2020级高考数学（理工类）适应性考试【含答案】

宜宾市高2020级高考数学（理工类）适应性考试本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回第=1\*ROMANI卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则A． B． C． D．2．复数（是虚数单位）的虚部是A．1 B． C．2 D．3．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是A． B． C． D．4．的展开式中，的系数为A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是A．平面 B．平面C．平面 D．平面6．已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线过点P（1，2），F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为A．3 B．4 C．5 D．107．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（

）（参考数据：，）A．5 B．10 C．15 D．208．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称9．已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为A．B．C．D．10．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为A． B． C． D．111．在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为A． B． C． D．12．若对，恒有，则正数a的取值范围是A． B． C． D．第=2\*ROMANII卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有______人.14．从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为____________．15．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，且满足，则的长等于______．16．如图，在正方体，中，E，F，G分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：①若E，F，G分别是的中点，则；②若E，F，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三角形；③可能为直角三角形；④．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和18．（12分）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x12345市场规模y3.984.565.045.866.36(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．参考数据：，，，其中．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19．（12分）在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，.(1)证明：；(2)若，，求二面角的正弦值.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，三角形的面积为1（为坐标原点）．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线交椭圆于，两点，且三角形的面积是1，设直线的斜率为，直线的斜率为，问：与的乘积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数，.(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．（选修4-4极坐标与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线上的点到直线距离的最小值.23．（选修4-5不等式选讲）已知函数的最大值为M，正实数m，n满足m+n=M.(1)若不等式有解，求a的取值范围；(2)当时，对任意正实数p，q，证明：.

答案1．C2．A3．C4．B5．D6．D7．B8．B9．D10．A11．C12．D13．72014．15．16．①④17．解：（1）设的公比为（），因为，且，，成等差数列，所以，即，解得，所以；（2）由（1），．18．（1）解：设，则，因为，，，所以．把代入，得．即关于的回归方程为．（2）解：由题意知，，，由得所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为X01234P19．解：（1）取AM的中点N，连接DN，BN，∵是等边三角形，∴AM⊥DN，又，∴AM⊥平面BDN，又平面BDN，∴AM⊥BN，又N为AM的中点，∴；（2）∵，，是等边三角形，∴，，∴，又，∴平面ADM，如图建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BMC的法向量为，则，令，则，∴，设平面DMC的法向量为，则，令，则，∴，∴，∴，∴二面角的正弦值为.20．(1)由题意得所以而，所以故椭圆的标准方程为：(2)①当直线的斜率不存在时，设，代入椭圆方程得所以得所以，或，此时②当直线的斜率存在时，设为，与轴交点为，设，，联立得∴，所以所以即所以所以，综上：与的乘积为定值21．解：（1）因为，则，又，所以在点处的切线方程为，即，又该切线为，则且，所以；（2）（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得，又，易证，证明如下：令，，当时，，单减，当时，单增，故，故，得证.，所以在和上各有一个零点，故有两个零点时，a的范围为；（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，由且，得.因为令，则，记，，由，令，.又，则，即，所以在上单调递增，故，即成立.所以不等式成立.法2：欲证，由，，则只需证：.不妨设，则且，则，所以令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故.22．(1)由（为参数），消去参数得，所以曲线的普通方程为，把代入直线的极坐标方程得：，所以直线的直角坐标方程为.(2)由（1）知，曲线的