原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第三章 第7讲 正弦定理和余弦定理配套课件

第7讲正弦定理和余弦定理课标要求考情分析通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意：1.强化正、余弦定理的记忆，突出一些推论和变形公式的应用.2.本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理.3.重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题名称正弦定理余弦定理定理

＝______＝2R，其中R是三角形外接圆的半径a2＝_______________；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC1.正弦定理与余弦定理

csinCb2＋c2－2bccosA(续表)角的分类A为锐角A为钝角 或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在△ABC中，已知

a，b和

A时，解的情况如下：题组一走出误区1.(多选题)在△ABC中，角

A，B，C所对的边分别为

a，b，)c，下列结论一定正确的是( A.a2＝b2＋c2－2bccosA

B.asinB＝bsinA

C.a＝bcosC＋ccosB

D.acosB＋bcosC＝c＝可得asinB＝bsinA，故B正确；解析：根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正确；根据正弦定理

absinAsinB

根据正弦定理，a＝bcosC＋ccosB⇒sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，故C正确； 根据正弦定理的边角互化可得sinAcosB＋sinBcosC＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sinBcosC＝cosA·sinB，又sinB≠0， 所以cosC＝cosA，当A＝C时，等式成立，故D不正确； 故选ABC.

答案：ABC题组二走进教材

2.(必修5P4

练习1改编)在

△ABC中，已知

A＝45°，C＝30°，c＝10，则a＝________.

3.(必修5P8

练习2改编)在△ABC中，已知

a＝7，b＝10，c＝6，则最大角的余弦值为________.

解析：由余弦定理得，最大角的余弦值为答案：－1584

题组三真题展现

4.(2017年全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝______________.

解析：方法一，由

2bcosB＝acosC＋ccosA， 得2sinBcosB＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，

方法二，2bcosB＝acosC＋ccosA答案：π35.(2019年上海)在△ABC中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且

解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理可得3BC＝2AC，∴由AC＝3，可得BC＝2，考点1正弦定理与余弦定理自主练习

1.(2017年全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝

，则C＝()A.

π12B.π6C.π4

πD. 3

解析：由题意，得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，得sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，即sinC·答案：B

2.(2019年全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝__________.

解析：bsinA＋acosB＝0， 即bsinA＝－acosB， 即sinBsinA＝－sinAcosB，sinB＝－cosB，

答案：3π 4

3.(2015年全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________________.

解析：如图D21，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与E重合时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝此时与AB交于F.在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝图D214.(2019年全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，A.6B.5C.4D.3解析：由asinA－bsinB＝4csinC，得a2－b2＝4c2，a2＝答案：A答案：A

【题后反思】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考点2正弦定理与余弦定理的综合应用师生互动

[例1](2019年全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC. (1)求A；

(2)若

a＋b＝2c，求sinC.

解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.因为0°<A<180°，所以A＝60°.

【题后反思】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为： ①先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系；②再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【考法全练】

答案：B考点3三角形的面积问题多维探究【考法全练】(1)求角A，B，C的大小；(2)求△ABC的周长和面积.⊙转化与化归思想判断三角形的形状[例3](1)在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A.锐角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等边三角形

解析：方法一，∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，而sinA＝2sinCcosB， ∴2sinCcosB＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinCcosB＝sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0＝sin(B－C)，又∵B，C是△ABC的内角，∴B＝C故.ABC是等腰三角形.方法二，sinA＝2sinCcosB，得a＝2ccosB，即a＝2c×a2＋c2－b2

2ac，a2＝a2＋c2－b2，得c2－b2＝0，∴b＝c故.ABC是等腰三角形.答案：C(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：方法一，已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理知上式可化为sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π.得2A＝2B或2A＝π－2B，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二，同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.答案：D∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2).即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a＝b或

a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.＝＝(3)(多选题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A.若

a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形B.若

abccosAcosBcosC，则△ABC一定是等边三角形

C.若

acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

D.若

acosB＋bcosA＝a，则△ABC一定是等腰三角形

解析：当

a＝4，b＝2，c＝3时，a2＋b2－c2>0，△ABC为钝角三角形，A错误；＝因为

abcosAcosB＝

ccosC，所以tanA＝tanB＝tanC，且A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，△ABC为等边三角形，B正确；

不一定是等腰三角形，C错误；

acosB＋bcosA＝a⇒sinAcosB＋sinBcosA＝sinA⇒sin(A＋B)＝sinA⇒sinC＝sinA，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C.即△ABC为等腰三角形，D正确.

故选BD.

答案：BD【策略指导】三角形形状的判定方法

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝，cosAb2＋c2－a2(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin

A＝

a2R＝2bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. (3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能.1.(2013年陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(

)A.直角三角形C.钝角三角形B.锐角三角形D.不确定

∴△ABC为直角三角形.故选A.

【高