原创2022年《南方新课堂·高考总复习》数学 第二章 第16讲 导数与函数的单调性配套课件

第16讲导数与函数的单调性课标要求考情分析1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用.本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用1.函数的单调性单调递减函数y＝f(x)在(a，b)内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)内__________.2.函数的极值f′(x)＜0f′(x)＞0

(1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0

附近的左侧____________，右侧____________，那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.极小值3.函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)①若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；②若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；极值

②将函数y＝f(x)的各________与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.题组一走出误区1.(多选题)下列结论不正确的是()

A.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0 B.若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数

C.如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性

解析：对于A，有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3， 它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0.

对于B，因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性.

对于C，如果函数f(x)在某个区间内恒若f′(x)＝0， 则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性.对于D，y＝

1lnx定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，因此它的减区间为(0，1)和(1，＋∞).

答案：ABD题组二走进教材2.(选修2－2P26第1题改编)函数

f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A.(－∞，2)C.(1，4)B.(0，3)D.(2，＋∞)

解析：f′(x)＝(x－3)′ex

＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

答案：D3.(选修2－2P32B组第1题改编)已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()A.f(2)>f(3)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)B.f(3)>f(2)>f(π)D.f(π)>f(3)>f(2)

解析：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2).故选D.

答案：D题组三真题展现4.(2015年陕西)设

f(x)＝x－sinx，则f(x)()

A.既是奇函数又是减函数

B.既是奇函数又是增函数

C.是有零点的减函数

D.是没有零点的奇函数

解析：因为

f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.

又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.

答案：B5.(2017年浙江)函数

y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图)2-16-1，则函数y＝f(x)的图象可能是(

图2-16-1ABCD

解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，故选D.

答案：Dx2考点1利用导数研究函数的单调性自主练习1.函数f(x)＝lnx x的单调递增区间是________.解析：由于函数f(x)＝lnx x的导数为y′＝1－lnx，令y′＞0可得lnx＜1，解得0＜x＜e，故函数f(x)＝lnx x的单调递增区间是(0，e).答案：(0，e)2.函数f(x)＝(3－x2)ex

的单调递增区间是()A.(－∞，0)C.(－∞，3)和(1，＋∞)B.(0，＋∞)D.(－3，1)解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3，1).故选D.答案：D3.在R上可导的函数f(x)的图象如图2-16-2，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(

)图2-16-2A.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－2，－1)∪(1，2)B.(－1，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，∴f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)；在(－1，1)上，f(x)递减，∴f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0，1).综上，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).答案：A

【题后反思】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.考点2含参数函数的单调性师生互动

[例1]已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；

(3)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；

(4)若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求实数a的取值范围；

(5)若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值；

(6)若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围.解：(1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在R上为增函数.综上所述，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；

(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在

R上恒成立，即a≤3x2对

x∈R恒成立.

∵3x2≥0，∴只需a≤0.

又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0].(3)∵f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立. ∴a≤3x2

在(1，＋∞)上恒成立.∴a≤3.

即实数a的取值范围为(－∞，3].(4)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在(－1，1)上恒成立.∵－1＜x＜1，∴3x2＜3.∴a≥3.即当实数a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1，1)上为减函数.

【题后反思】若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数取值范围问题，一是可转化为f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到，二是利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.【考法全练】1.(2014年全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( A.(－∞，－2] C.[2，＋∞)) B.(－∞，－1] D.[1，＋∞)

答案：D答案：C⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性[例2](2019年湖北重点中学联考)设函数f(x)＝xekx(k≠0).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围.即0<k≤1时，函数f(x)在(－1，1)内单调递增，综上可知，函数f(x)在(－1，1)内单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1].方法二，∵f(x)在(－1，1)内单调递增，∴f′(x)≥0在(－1，1)内恒成立.令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1，1)内恒成立，(－1，1)内单调递增.若k>0，则g(－1)≥0，∴－k＋1≥0，∴k≤1，∴0<k≤1.若k<0，则g(1)≥0，∴k＋1≥0，∴k≥－1，∴－1≤k<0.∴k的取值范围是[－1，0)∪(0，1].

【策略指导】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.【高分训练】(全国百所名校大联考)已知函数f(x)＝x2＋axlnx－2ax.(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋alnx＋a－2a＝2x＋alnx－a.∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝2－a＝0，∴a＝2，∴f′(x)＝2x＋2lnx－2＝2(x－1＋ln