专题3用导数求解函数的零点

专题3函数的零点、隐零点及零点赋值问题(一)函数零点个数问题用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.【例1】已知f(x)=ln(x+1)-asinx，其中a为实数.(1)若f(x)在(-1,0)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，判断函数f(x)在(-1,兀)上零点的个数，并给出证明.【分析】口)【分析】口)主趣言F㈤3在一LS恒成立，舞把为小求6由=年+1)0工的最火值匕得口的志值正闺总■电工.中心F5>=号］一:工一1)皿》，hell*人因为工？■◎活化为嘴充土*，=1一O-D—h,中l1_u 」 x+1 n④当吐.式0在上单调递标方程俱工)=。无法求解，切入隐号点：P5(-1；=-5s<0)=--1<0,.g<1/=C(-10)± r,p,中口 £1且丫匕-工而底，£(T'”也台阴注目⑺Y0….•.以己在(-14)上单调递增，在值用)上单调递班，丫又4:1；=一…回^7-1|< /(0)=03y.•」幻在上有l4骞皮…②营工=0匚，/⑼=口，则工=。量一个零点；¥①苣01：工;时，专判工)=皿工一1：，一如1H，则和»="一书工#｛工｝=一一^4朝工，A2 ｛ljj脸㈤在I：伉勺上均单调遥黑怛方握稳»=口也无法求解，引入隐零点二¥才⑼=-k(Mi1■传|皿产二"旬=。在I ；上有一些XnJ巨当工三③上忙，总工卜：。，当父看书(尸，W(力>他"「用分在<Qk，二单胃逸感，在；耳3：二隼闰递增，产.-.K(凡予二讨£口)=。,犷j9］,。，口二百｛公=。正(际二有一第W，巨he(Q毛)k，"用m3音2初4加股正39二跳幻在二年渭遍减，在|‘七：；二年调连好，尸又可切=0,^^；=Ln|'^-l；-l<0,“二川冷，:。衽I值三；上恒成立，产二:付『年)=€在；‘以］；二元颦：F④二：二广：网门£1H：=二-(*一二二"芭三工|上恒或占"二,年)衽;9炉：|上年消逐好，F又唱卜呜一』-仪河尸卜［血的=皿♦-7>眄・二产出在；/H|上有一■■卜等卢：P螺:，火灯在LL*%三苍三个萼点中(二)零点存在性赋值理论.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不等式；求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m,a)上存在零点..赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；确保赋值点弋落在规定区间内；确保运算可行三个优先：(1)优先常数赋值点；(2)优先借助已有极值求赋值点；(3)优先简单运算.【例2】已知函数f(%)=丝，g(%)=ln%.x1 (1)当a>0时，讨论函数F(x)=af(x)-g(x)--的单调性；x(2)当a>1时，求证:axf(x)-g(ax)>(e-1)x+1.【分析由可河=4可得gi或，=七即对-mg。」大小关系讨论，并判断尸⑴的正负，艮何判断陶颊"月的单调性』+⑵用式等价于网式上^^一出I+eL力丹口尸尸(1|一如_1,执匚需让四粤—hi》+91匚的-"F「让明G(y)=ln^^-]nA<(j-l)g,即证明田Ji)=史「LlnTE"lg而G[h)=土口f一皿依)],记力⑴=1」㈣⑴,加工)讦Qt伸调递鼠通过赋值酶/工)的零点地围:,吊-\=l一>0,f?i'l)=-ln/?印,,故存在天匚；卜霓/[为}T-ln(gJf_。，即v..G(a)<G(jcd)= ——Lill,==一1口%-1,a记中㈠1=：一1口上一1在;丁1；上聿同生此矶/)《再J=gln内—1…故只需证:即叫0)=(用一1)(3一1)—In31中m'\a=€—1一二 ，刑|八衽:e：|生话增，见[：=□成亡a(三)隐零点问题.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为'显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为x，再利用导函数的单调性确定x所在区间，最后根据f'Q)=0,研究f(x)，我们把这类问题称为0 0 0 0隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f'(x0)=0是关于x0,a的关系式，确定x0的合适范围，往往和a的范围有关.【例3】已知函数f(x)=aex一bx.(1)当a=1时，求f(x)的极值；TOC\o"1-5"\h\z、， ， 、 4(2)当a>1时，f(x启Inx+5，求整数b的最大值.S析】⑴对函热求导得『㈤再对石分陶幅况讨电即比。和白海,即可得答晶一tL力a」时，为一反.lux-。即(/一虻t-£，巨用工下口，一二只,需「一皿一三」.・太鼠口_0-也]；JC X4 4g(L)=&--?所以^工邛_弓・p14 , r」'"7”8一：，个F⑴—oETHln式一，尸⑴在他例）逆漕"g13J= ： 3I但巴刃=0而城解,故引入隐零点…Fa>-l<0,F（2i=e-+ln2-l>0,r根环弯点存在忖乏理，土ML2]..使得F[%）—h巩口二口―1户111/一；一0「-：，三（。，[口时，段）《0,印式工”0.孤工〕'渝承商，"当工=（月出》）时,产（琦>%即耳3>内式I）力噜困薮…4TOC\o"1-5"\h\z加・। 力-1口工一二 1所'、式立1r=tUu）= ： =歹--'"％e'"~~;"人电II 1 4P=废--在值W琬招,中。：分,所以小一力€-1,又久也一二3所以整热占的最大值是L卡三、典例展示【例1】已知f（x）=xlnx.（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x彦kx-2（k+1）（kgZ）对任意x>2都成立，求整数k的最大值.【解析】（1）内刃的定义域是电例），令■/⑶=1成—1=0="L>g所以尔）在（of上单调递或在C上单调递熠…在1=1处取唯一的极小值，也是最小值/1;=-1」g V总J gxlux+2 jinx+2 rxxi—2阮^一4（2）川工）二期一2体+L>o1t，:——（注意至>2）,记式.盯一f,则[町=lJX-Z X-2 |4一工|7考查出数旗力=i-抵丫-4,"㈤=1-二>。*>2）,网丁）在定义域上单调递增*显然有力（2l=4-21n8<0,为（10|=8—加10>0,所以存在唯一的冗三（8J0〕使得网冗卜％—21皿,—4=0*在仅见）上网力m,一⑴皿―在单调递;触在小上网工»3£⑴>3w⑴单调递增上TOC\o"1-5"\h\z所以g（町在与取唯一的极小值也是最小值sM=受二，注意此时i=o=>向：尸三之，裂儿口£ 上3''一斗3 1所以L,工-=4（A；,-2jEiX4）,所以整数Q的最大值可以取靠dI。J__q 上儿一【例2】已知函数fx）=xex+2-ax2+ax（a口R）.（1）当a=-2时，求函数fx）的单调区间；（2）当a>-1时，讨论函数fx）的零点个数.t解析】3）当户一W时，*工I=m-/一21，/|、）=6-川一2工一2=总'（更一1）一2（I一1"）=（比—1）|.£一2.|,*j令/㈤>0,即（克—1瓶―丁|>。，解得QM2或工J,令门*0,即5+1）（F-2"反解得—l—cln2…所以函数的单调递增区间为（hiZ+»h单调递遍区间为（-LE2）#⑵/（x）=（i'+l）（sI+a）,+j①仃20时，-a>Q?+J二xE（f-1|时，川打单调递减…日-L句时，与町单调递增s5-1）=-；—六0,刀。1=0,九-3）=—%T+[>%二/"⑴有2个霎点*②令〃工）=0,骂一,“皿㈤,当天=工时，即门工）加恒成立…与盯单调递增，只有1个零点,，且#01=。*③网》前,则一3"。，由/1工）>0,解得.lYEIf）或工〉-1,一由门町皿解得ln（T）C<-L…在（皿T）TLt单调递减…在[-加-刈，T”）上单调递增，川11（田|=111（-日此,-“'-"[111（5|丁一0-111（5]=1[111（引了<：口，¥也只有刀。1=0,只有1个零点・@i,<,-l<a<-1,+j容由门工）>。,解得上<-]或工）皿㈤,由八*3解得一1。〈山（一编…二,⑴在（-LIii（y））上单调递减j在si）,阿T）,他）上单调递增…由/Hi一沁，令人―A。，解得…当-』一时，八-》0,且;1力，所以ig）4o…1 1Q/（0）=5二*--））0即4月有3个零点当七<”二时，此时函数口工）只有。这1个零点一“综上所述，口之。时，内可有2个零点5。-:3。时，刀巾有1个零点…—IMsc—二时，刀町有3个零点*【例3】已知函数f（x）=（2aex—x）ex.（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若对于任意的xeR,f（x）+1<0恒成立，求a的最小值.a【解析】(1)因为4=0,¥所以八町=-记:/(x)=-(J+ll)e\+J令/⑶=L得工=-1■当xe(h「L耐,/(i)>0jx当xeiT*时，故丁：町的亘调速行区间是(〜「L),单调建减区间是［Tm)*(2)，(R|=4flg" =7,(;r-l-4a，).+j因为依eR,刀灯—：£。，又八口)=2%所以曲—"0,贝」公0》令别町=.1-4屐，则式工1在R上单调追增*因为当工V。时.g(jc)<x+l-4fl；所以g(4a-l)《4a-l+l-4fl=05因为虱—L)=ToeT>0,所以瑞e(4<2_1「1：|,使得式及)=0*且当工匕(八白)时,二工则/当”(工，”1时，仪工A。,则/卜卜口…所以力才)在［F用)_1亘调递增，在(福伸I，单调递减w故/町0=刀。1=为录"一几"由打。1=工-一1一恒*=°，存b卡4g1 t且浜。 T—1 4由川)g+*，得苏之口，即亍之01.结合工厂1通得片一所以.—3E』<—1*令砧］=葺1|-353则/阳=三0所以2吒［-3〕上单调递增…所以,网工户状-3|=,即比之—!曲。的最小值为—.上四、跟踪检测.设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(%)的单调区间；(2)若a=1,k为整数，且当%>0时，(％-k)/(%)+%+1〉0，求k的最大值..设函数f(%)=2ex+acos%,aeR.,, 一(八九、.., ，、一.(1)若f(%)在0，-上存在零点，求实数a的取值范围；I27(2)证明：当ae[1,2],%e[0,；]时，f(%)>2%+3.I27.已知函数f(%)=ln%-%,g(%)=%+a,且函数f(%)与g(%)有相同的极值点.%(1)求实数a的值；(2)若对V%,%e1i,3],不等式f(%1)-f(%2)《1恒成立，求实数k的取值范围;12Le」 k+1(3)求证：f(%)+g(%)<e%±^,.已知函数f(%)=alnx+bx的图象在点(1,-3)处的切线方程为y=-2x-1. 1(1)若对任意xe[3,+8)有f(xXm恒成立，求实数m的取值范围；(2)若函数g(x)=f(x)+x2+k+2在区间(0