轴心受压构件的弯曲屈曲

轴心受压构件的弯曲屈曲第一页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲第二章轴心受压构件的弯曲屈曲 §2.1

概述 §2.2

轴心受压构件的弹性弯曲屈曲 §2.3

轴心受压构件的大挠度弹性理论 §2.4

轴心受压构件的非弹性屈曲 §2.5

初始缺陷对轴心受压构件的影响第二页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲§2.1

概述轴心受压构件的失稳形式

弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。双轴对称截面扭转失稳：扭转变形迅速增大而丧失承载力。

十字形截面

弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心 不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。

单轴对称截面，无对称轴截面

弯曲屈曲是确定轴心受压构件稳定承载力的主要依据。第三页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲荷载位移曲线

1-小挠度理论(弹性)2-大挠度理论(弹性)3-有初弯曲时(弹性)4-有初偏心时(弹性)3’-有初弯曲时(弹塑性)4’-有初偏心时(弹塑性)第四页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲§2.2

轴心受压构件的弹性弯曲屈曲1）理想轴心压杆的欧拉临界力

基本假定： （1）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接； （2）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用； （3）材料具有线弹性，符合虎克定律； （4）符合平截面假定； （5）小变形假定：弯曲曲率： 第五页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程：杆件处于临界状态时，内外弯矩相等，即令，得：此常系数二阶齐次微分方程的通解：A,B为待定系数，由边界条件确定。第六页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲由边界条件得：（1）则（2）由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：（m=1，2，3，……），即第七页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲临界力和屈曲形式

轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力第八页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲挠曲线当m=1时P最小，对应的挠曲线方程为，为正弦曲线的一个半波；当x=l/2时，y=v0，A即为跨中最大挠度

v0，故有。杆件可在任意

v0值的弯曲状态下保持平衡。

轴向压力横向挠度v0

为不定值，在小变形假设的前提下，第九页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲2）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程）

对于两端为任意支承情况时，由脱离体的平衡得：对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力：

令，得

此微分方程与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，称压杆屈曲的高阶微分方程。PPPP第十页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲方程的通解为：其各阶导数为：A,B,C,D为待定系数，由边界条件确定。各支承情况的边界条件：铰支：固支：自由端：第十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲两端固定的轴心压杆边界条件：线性齐次方程组：为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。

第十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲则由此得或（1）求解第一式临界力：（2）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）在坐标系中分别画出曲线和，其交点即为方程的解。第十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲取相交点的最小值，得即结合上述两式的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：使方程有非0解，满足=0的k值称为特征值，因此解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。与k值对应的y(x)为特征函数或特征向量，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。=0为特征方程，因Pcr由=0求得，故又称为屈曲方程。第十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲一端铰接、一端固定的轴心压杆边界条件：线性齐次方程组：为使关于A、C的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。

力学边界几何边界第十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲展开得即上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：（最小特征根）即第十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲3）轴心受压构件的计算长度

对其他约束情况，Pcr同样可由高阶微分方程计算，如：两端铰支：一端固定一端自由：一端固定一端平移但不转动：可统一表示为：

l0称计算长度，μ为计算长度系数。

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轴心受压构件的弯曲屈曲讨论l0的实质由曲率方程有：若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即：和代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组即应有展开得：即令，得，解得最小值

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轴心受压构件的弯曲屈曲由此得到与欧拉临界力相同的算式：

l0的实质为点z1、z2

之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。

l0实际上相当于相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。

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轴心受压构件的弯曲屈曲§2.3

轴心受压构件的大挠度弹性理论1）大挠度方程

构件弯曲曲率与变形的关系：

两端铰接轴压杆大挠度方程为：第二十页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲2）讨论

（1）当P<PE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳定平衡状态；（2）当P≥PE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与挠度关系；

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轴心受压构件的弯曲屈曲

（3）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳定平衡状态的分枝点；（4）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达到构件长度3%以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段。因此轴心压杆的屈曲后强度不能被利用。第二十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲§2.4

轴心受压构件的非弹性屈曲欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。临界长细比

弹性失稳和弹塑性失稳的分界点第二十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲1）切线模量理论由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在1889年提出。

基本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。

达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在1－1截面右侧边缘产生的拉应力。即：凹面压应力增加为max；凸面压应力增加量正好为0。第二十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲作用于1－1截面上的压力为：作用于1－1截面上的内力矩为：全截面对形心轴的面积矩为0第二十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。第二十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲2）双模量理论（折算模量理论）由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在1895年提出。

基本假定：

（1）在弯曲时全截面出现反号应变；（2）压杆屈曲时压力保持不变。

弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即：凹面为继续加载区，凸面为卸载区。加载区变形模量为Et；卸载区变形模量为E第二十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲作用于1－1截面上的压力变化值为：由于屈曲后压力保持不变，因此则即由上式可以求出中性轴的位置。第二十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲1-1截面上的内力矩：第二十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：即求解微分方程，得：其中为折算模量，与E,Et和截面形状有关。Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。第三十页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲3）Shanley理论

Shanley于1947年设计了Shanley模型来解释试验值更接近切线模量理论。

力学模型：（1）模型有三部分组成：两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；

（2）弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；（3）铰的-曲线是折线。

弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。第三十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲铰的弹性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距为h，每肢面积为A/2；当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为ε1和ε2，两肢变形如图；杆端转角：跨中挠度：0第三十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和E2，则因屈曲而产生的内力ΔP1和ΔP2：铰处的内弯矩：铰处的外弯矩：

由内外弯矩平衡得：0第三十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲讨论（1）当构件在弹性状态失稳时，即E1=E2=E，则：（2）当构件在弹塑性状态失稳时，按切线模量理论，E1=E2

=Et，则：显然，若E1=E2=Et，则P2必为受压，即2必为缩短，20

因压力增量亦即当20时，P0。若要P=0，只有1=2，即d=0。说明

切线模量荷载Pt是压杆保持平直状态时的最大压力；是杆件开始屈曲时的最小压力，亦即在发生弯曲时压力必须增加。第三十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（3）当构件在弹塑性状态失稳时，若12，亦即d0，要P=0，则必须有E11=E22，且E1=Et，E2=E，则：

其中：是Shanley模型的折算模量。

由比较可知Et<Er<E，因此Pt<Pr<PE。第三十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（4）P与中点挠度d的关系因压杆在P=Pt时发生屈曲，弯曲后的P应增加P，即：

P=Pt+P令E2/E1=第三十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲讨论（1）当d=0时，P→Pt；（2）当d→时，结论（1）Pt是柱保持平直状态时的最大压力，压力达到Pt时柱开始屈曲，因而，以Pt作为判别标准才是安全的；（2）因Er>Et

，故Pr>Pt

，Pr是压杆屈曲后的渐进线，实际上是达不到的，即Pt<P<Pr；（3）实际的Et随Pt的增加而减少不是常数，因而曲线下降。PPrPtd第三十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲§2.5

初始缺陷对轴心受压构件的影响初始缺陷

几何缺陷：初弯曲、初偏心

力学缺陷：残余应力1）初弯曲的影响假设初弯曲形状为正弦半波，跨中最大初挠度为v0，即：内弯矩：外弯矩：第三十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲

由两端铰接杆的失稳变形可知，增加的变形也为正弦半波曲线：由内外弯矩平衡得：

即，则跨中总挠度第三十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲施工验收规范规定柱的最大初始挠度为l/1000讨论（1）v与v0成正比，与P是非线性关系，当P=0时，v=v00；（2）当P→PE时，v→，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠度与v0无关；（3）相同压力下，初弯曲v0越大，杆的挠度越大。第四十页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（4）跨中挠度v可理解为逐级发展过程（共轭梁法）跨中挠度：

v1引起的附加弯矩产生的挠度：以此类推得总挠度关系：

括号内为无穷等比级数，当P/PE<1时级数收敛；得到与前述相同的结果，

称为挠度（或弯矩）放大系数。体现了一阶弯矩和二阶弯矩的差别，即构件本身的二阶效应，即：

P-δ效应。第四十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（5）上式仅在凹侧应力maxfy有效，极限条件是称边缘纤维屈服准则。上式即或令（初始偏心率），得：

解得

上式由Perry在1886年首先提出，故称为Perry公式，初弯曲杆能承受的最大荷载P=

A。

第四十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲2）初偏心的影响图示杆件两端荷载存在初偏心距e0，杆件在弹性阶段工作，其内、外弯矩的平衡方程为：上式的通解为由边界条件y(0)=0和y(l)=0得到B=e0和，即：跨中挠度第四十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲

化简后得讨论（1）v0是P的非线性函数，当P=0时，

v0=0，但一开始加载杆件即发生弯曲；（2）v0在加载初期增长较慢，后随P的加大而增长加快，当P→PE时，v→，以欧拉临界力为渐进线；（3）偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；若偏心很小，则v0在P→PE前都很小。

与初弯曲的影响无本质区别。e0=0.3e0=0.1第四十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（4）根据边缘纤维屈服准则，构件中点截面边缘纤维的压应力最大值：

即，此时为初偏心杆的相关公式。

正割公式第四十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲3）残余应力的影响（1）残余应力对杆件平均的应力-应变曲线的影响残余应力的存在降低了比例极限；

fy(fp,

y)→fp'(p

)

fp'=

fy-rc有效比例极限对于中长柱，当屈曲应力超过有 效比例极限时，残余应力将降低 构件的抗弯刚度，从而降低其屈 曲荷载。第四十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（2）轴压构件临界应力cr与λ的关系（柱子曲线）长细比相同时，初始缺陷越大，临界承载力越低。第四十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲（3）考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。临界荷载临界应力

其中Ie/I为临界荷载或临界应力降低系数，取决于残余应力的分布、截面形状和弯曲方向。以轧制H型钢为例第四十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲k值的求法—短柱试验当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠弹性区截面面积Ae承担。当轴心压力增量为ΔP时，平均应力增量：Δ=ΔP/A应变增量：Δ=ΔP/(AeE)与截面平均应力对应的切线模量：由前述H型钢，所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力影响系数k。ΔP全部由弹性区负担说明k值是随Et变化的，即k是随平均应力变化的。第四十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期三§2

轴心受压构件的弯曲屈曲讨论

（以轧制H型钢为例）

（1）当