湖南省衡阳市 市石鼓区松木中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省衡阳市市石鼓区松木中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.化极坐标方程为直角坐标方程为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C

解析：2.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】CF：几何概型．【分析】他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，即可求出概率．【解答】解：他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为50，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，∴他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是，故选：A．3.在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是(

) A．2 B．8 C．14 D．16参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（4，2），此时z的最大值为z=4+2×2=8．故选：B．点评：本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求．4.下列有关命题说法正确的是（）A．命题p：“?x∈R，sinx+cosx=”，则?p是真命题B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0“的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”D．“a＞l”是“y=logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型．【分析】A、判断出命题p的真假，即可得到￢p的真假；B、若PQ，则P是Q的充分不必要条件；C、特称命题的否定是全称命题；D、若，则p是q的充要条件．【解答】解：A、由于sinx+cosx=sin（x+），当x=时，sinx+cosx=，则命题p：“?x∈R，sinx+cosx=”为真命题，则￢p是假命题；B、由于x2﹣5x﹣6=0的解为：x=﹣1或x=6，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件；C、由于命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”则命题的否定是：“?x∈R，x2+x+1≥0”；D、若y=logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则必有a＞l，反之也成立故“a＞l”是“y=logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件故答案为D．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论5.“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的(

) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件；参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答： 解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．6.f（x）=x（2016+lnx），若f′（x0）=2017，则x0=（）A．e2 B．1 C．ln2 D．e参考答案：B【考点】导数的运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x0，列出关于f'（x0）的方程，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=x（2016+lnx）=2016x+xlnx，∴f′（x）=2016+1+lnx=2017+lnx，∵f′（x0）=2017，∴f′（x0）=2017+lnx0=2017，∴lnx0=0=ln1，∴x0=1故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，属于基础题．7.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A．

140种

B．

120种

C．35种

D．

34种[参考答案：D若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D.8.函数f（x）=ex﹣的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】直接利用函数的解析式，判断x＜0时，函数值，判断即可．【解答】解：函数f（x）=，当x＜0时，f（x）=＞0，看着函数的图象在x轴上方，考察选项，只有A满足题意，故选：A．9.若是所在平面内的一点，且满足(BO+OC)?(OC-OA)=0，则一定是（）

A.等边三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.斜三角形

参考答案：C略10.已知tanθ=2，则sinθcosθ=(

)A． B． C．± D．±参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．【解答】解：∵tanθ=2，则sinθcosθ===，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），y＝sin3x在[0,]上的面积为

参考答案：12.函数的最大值为

。参考答案：答案：513.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，若抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

.参考答案：15.714.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=____________.参考答案：略15.已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，若不等式f（x）＞2的解集为（2，4），则实数m的值为

．参考答案：3【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意，，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，，∴m=3，故答案为3．16.在的展开式中，若第项的系数为，则

.参考答案：略17.已知{an}为等差数列，若a1=6，a3+a5=0，则数列{an}的通项公式为．参考答案：an=8﹣2n【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=6，a3+a5=0，∴2×6+6d=0，解得d=﹣2．∴an=6﹣2（n﹣1）=8﹣2n．故答案为：an=8﹣2n．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中学高一、高二、高三年级分别有60人、30人、45人选修了学校开设的某门校本课程，学校用分层抽样的方法从上述三个年级选修校本课程的人中抽取了一个样本，了解学生对校本课程的学习情况。已知样本中高三年级有3人。(1)．分别求出样本中高一、高二年级的人数；(2)．用（i=1,2...）表示样本中高一年级学生，（i=1,2...）表示样本中高二年级学生，现从样本中高一、高二年级的所有学生中随机抽取2人。①用以上学生的表示方法，用列举法列举出上述所有可能的情况：②求①中2人在同一年级的概率。参考答案：(1).解:设样本容量为n

∵样本中高三年级有3人

∴

∴n=9

∴样本中高一年级人数为：

样本中高二年级人数为：（人）

（5分）

(2)．①所有可能的情况有：，

，共15种

其中在同一年级的有7种

（10分）

②在同一年级的概率P=

（12分）

略19.已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．参考答案：【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin（2C﹣）﹣1=0，结合范围0＜C＜π，可求C=，由已知及正弦定理可得b=2a，进而由余弦定理可得a2+b2﹣ab=3，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…4分∴当2x﹣=2kπ﹣，即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分此时自变量x的集合为：{x/x=kπ﹣，k∈Z}…7分（2）∵f（C）=0，∴sin（2C﹣）﹣1=0，又∵0＜C＜π，∴2C﹣=，可得：C=，…9分∵sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a①，又c=，∴由余弦定理可得：（）2=a2+b2﹣2abcos，可得：a2+b2﹣ab=3②，…13分∴联立①②解得：a=1，b=2…14分20.{an}前n项和为Sn，2Sn=an+1﹣+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求{an}通项公式；（3）证明++…+＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，分别取n=1，2时，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13．利用a1，a2+5，a3成等差数列，即可得出；（2）当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出；（3）由≥3n﹣1．可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）解：∵2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，∴n=1，2时，2a1=a2﹣3，2a1+2a2=a3﹣7，∴a2=2a1+3，a3=6a1+13．∵a1，a2+5，a3成等差数列，∴2（a2+5）=a1+a3，∴2（2a1+8）=a1+6a1+13，解得a1=1．（2）解：当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=，化为，∴，a1+2=3．∴数列是等比数列，∴，∴．（3）证明：∵≥3n﹣1．∴，∴++…++…+==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21..已知函数，a，b是函数的两个极值点.（1）求k的取值范围.（2）证明：.参考答案：（1）；（2）见解析 【分析】（1）先求导数，再分离变量，转化为研究对应函数图象，利用导数研究新函数单调性，结合函数值域确定的取值范围，（2）先由（1）得，再根据导函数单调性以及是函数的