第三章常微分方程的边值和本征值问题演示文稿

第三章常微分方程的边值和本征值问题演示文稿当前第1页\共有42页\编于星期三\8点第三章常微分方程的边值和本征值问题当前第2页\共有42页\编于星期三\8点本章内容4Numerov算法123边值问题的直接积分打靶法求边值问题45一维薛定谔方程的定态解打靶法求本征值问题当前第3页\共有42页\编于星期三\8点3.0边值问题与本征值问题在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方程的解就能唯一的确定，这类问题称为边值问题。边值问题存在唯一的解例如当前第4页\共有42页\编于星期三\8点本征值问题在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束。方程存在一个待定参数，只有当待定参数取特定值的时候，方程才存在非零解，这类问题称为本征值问题。本征解和本征函数为例如当前第5页\共有42页\编于星期三\8点物理学中许多重要的微分方程具有如下形式其中S(x)为驱动项。K2(x)是一个实函数，自变量x通常表示空间位置．物理学中边值问题和本征值问题的一般形式当前第6页\共有42页\编于星期三\8点例如泊松方程对于这个方程，我们通常关心的是在r=0和r=+∞上满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题．边值问题的例子——泊松方程球对称形式为当前第7页\共有42页\编于星期三\8点作变换为标准形式当前第8页\共有42页\编于星期三\8点量子力学中，中心势场V(r)中运动的粒子波函数满足定态薛定谔方程本征值问题的例子——薛定谔方程在球坐标系下可写为当前第9页\共有42页\编于星期三\8点对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E，能够导出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解，这个问题就是一个本征值问题在分离变量之后可得径向波函数R(r)满足的方程为当前第10页\共有42页\编于星期三\8点3.1Numerov算法Numerov算法是处理下面的方程的一个高精度的算法当前第11页\共有42页\编于星期三\8点对yn+1

或者yn-1

解这个线性方程，就提供了一个对x向前或者向后积分的递推关系，其局部误差为O(h6).代入递推关系当前第12页\共有42页\编于星期三\8点注意这个算法比四阶Runge-Kutta算法高一个精度，而且Numerov算法更有效率，因为每一步只需要在一个格点上计算k2和S。必须强调的是Numerov算法只适用于本章给出的微分方程，对其它类型的微分方程是不适用的．当前第13页\共有42页\编于星期三\8点例子——利用Numerov算法解初值问题首先，写出本问题的Numerov算法递推关系当前第14页\共有42页\编于星期三\8点而y1是未知的，需要一个一步迭代格式来产生y1，例如可选择Euler方法或Taylor级数展开，并利用初始条件当然我们可以将y1展开到O(h6)，使它有与Numerov算法同样的精度．这里我们采用Taylor级数展开，并取它可以保证有O(h3)的精度．来确定y1。当前第15页\共有42页\编于星期三\8点注意Numerov算法与前面所讲算法的区别前面的算法都是首先而Numerov算法则是当前第16页\共有42页\编于星期三\8点3.2边值问题的直接积分电荷密度分布为求解泊松方程这个方程存在解析解当前第17页\共有42页\编于星期三\8点其中应用Numerov算法，递推关系为启动递推关系还需φ1当前第18页\共有42页\编于星期三\8点为了求得φ1，直接对方程积分当前第19页\共有42页\编于星期三\8点计算结果发现，当r增大时，φ的误差变大当前第20页\共有42页\编于星期三\8点这个渐进方程有两个线性独立的解r很大时，方程的渐进形式为为什么直接积分会不稳定？这个齐次方程有两个线性独立的解其通解可以写成这两个函数的线性组合，组合的系数由边条件来决定。ϕ~r（Φ~常数）ϕ~常数（Φ~r−1）当前第21页\共有42页\编于星期三\8点当r很大时，位势Φ→r-1，因而ϕ~1。解决这一困难的办法是，对数值解进行修正——从数值结果中去掉“坏”的、非物理的成分．具体地说，就是从数值解中减去随r作线性变化的部分，以保证解的物理行为．而计算ϕ’(0)的误差或向前积分过程中的任何误差都会导致混入第一个解ϕ~r，这个解最终将在r大时占支配地位．例如ϕ→1+0.0001r当前第22页\共有42页\编于星期三\8点已知Φ→1+br,b为未知常数，需要从解中减去br。n=600b=(phi(n)–phi(n-100))/(100*h)fork=1:nphi(k)=phi(k)-b*k*h;end当前第23页\共有42页\编于星期三\8点线性修正后得到的解当前第24页\共有42页\编于星期三\8点对于本例，我们也可以采用向后积分的迭代格式来实施直接积分，即从r很大处（例如r=20）出发，取ϕn+1=ϕn=1，然后向后积分。当前第25页\共有42页\编于星期三\8点3.3打靶法求边值问题考虑下面的边值问题与常微分方程问题不同，边值问题的定解条件分散在两个端点上，无法直接启动递推关系进行计算，因此需要一些辅助的处理手段。当前第26页\共有42页\编于星期三\8点这样对于给定的参数δ，我们就可以通过积分这个初始问题得到yδ(b)．打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数δ的初始问题来处理，即考虑如下初始问题当前第27页\共有42页\编于星期三\8点一般来说，由于可调参数δ的随意选择，yδ(b)和yb

很难相等。当前第28页\共有42页\编于星期三\8点当前第29页\共有42页\编于星期三\8点yδ(b)=yb问题转化为求下面方程的根可以使用二分法、弦割法来解这个方程打靶法就是通过使用一个搜索算法去调整参数δ，使得yδ(b)和yb在误差容忍范围内相等，从而达到数值求解边值问题的目的．当前第30页\共有42页\编于星期三\8点例子其中解析解为利用打靶法求解常微分方程边值问题当前第31页\共有42页\编于星期三\8点对于边值条件y’(0)=a,y(1)=b，我们可以选择y(0)的值为可调参数δ，即y(0)=δ，这样就构成了一个含参数的初始问题，然后通过使用一个搜索算法去调整参数δ，使数值解在误差范围内等于y(1)。对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来考虑。

对于边值条件y’(0)=a,y(1)=b，如何利用打靶法来求解？当前第32页\共有42页\编于星期三\8点3.4打靶法求解本征值问题考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间部分满足的方程和边界条件可以写成φ

是弦的横向位移，k是波数解析解为当前第33页\共有42页\编于星期三\8点策略：我们先猜测一个试验本征值k，同时任取一个非零数δ，把微分方程变化为一个初始值问题然后从x=0向前积分产生一个数值解。如果该数值解在x=1处的值与边条件ϕ(1)=0在误差范围内不相等，就改变试验本征值的值，再度积分。重复这个过程，直到最终找到本征值和对应的本征函数。相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数当前第34页\共有42页\编于星期三\8点注意：试验本征值k是一个可调参数，而参数δ只是一个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解的不唯一性引起的，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本征函数的归一化来确定。当前第35页\共有42页\编于星期三\8点当前第36页\共有42页\编于星期三\8点3.5一维薛定谔方程的定态解在x=xmin

和x=xmax

处两点位势变为无穷大，也就是说在这两点上有刚壁，在这两点之间则是一个势阱。一维位势V(x)中一个质量为m的粒子的量子力学定态当前第37页\共有42页\编于星期三\8点定解问题其中求使这个问题有非零解的能量本征值E及其相应的波函数当前第38页\共有42页\编于星期三\8点算法的思想为：由于我们要求的是一个束缚态解,因此取一个负的试验本征值，从xmin出发向前直接积分，可以产生一个数值解ψ<。策略——双向直接积分方法它如果越过右转折点再继续积分下去，那么这个数值解将变得不稳定。因为即使在一个精确的能量本征值上，

也可能混入一个不想要的指数增长的成分，这将导致进入经典禁戒区的积分很可能是不准确的。它在经典禁戒的区域内按指数方式增长,并且越过左转折点进入经典容许的区域，在经典容许的区域内振荡。当前第39页\共有42页\编于星期三\8点因此比较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由xmax

出发向后直接积分产生另一个数值解ψ>。ψ<和ψ>的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在xm上相等。这时如果它们的微商在xm上也相等，那么就可以断言这个试验本征值就是能量本征值.为了判断这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一个接合点xm上比较ψ<和ψ>，其中接合点xm要这样选择，使得两个积分都是准确的。这里接合点xm