演示文稿第二章连续性方程与运动方程

（优选）第二章连续性方程与运动方程ppt讲解当前第1页\共有52页\编于星期二\11点Euler观点和Lagrange观点Euler观点：流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观水，地面观测站。Lagrange观点：在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。如随船观水，气球探测。当前第2页\共有52页\编于星期二\11点物理量的时间导数在动量、热量与质量传递过程中．众多物理量如密度、速度、温度等随时间的变化率，是传递过程速率大小的量度。物理量的时间导数有三种：偏导数、全导数和随体导数。下面以测量大气的温度t随时间θ的变化为例说明之。气温随空间位置和时间变化，可表为t＝t(x,y,z,θ)，t为空间对时间的连续函数。当前第3页\共有52页\编于星期二\11点偏导数：某固定点处物理参数随时间的变化率。为了测定大气的温度，可以将测温计装于观测站的某个空间位置，观测者记录下不同时刻的空气温度，此时得到的温度随时间的变化以表示之，称为温度t的偏导数。全导数：物理参数由于位置和时间变化而产生的变化率（观测者在流体中以任意速度运动）。测量大气温度也可采用下述方法：将测温计装在飞机上。飞机以一定的速度v在空间飞行。观察者记录下不同时刻的空气温度*此时得到的温度随时间的变化以dt／dθ表示之，称为温度t的全导数。全导数的表达式可由对t进行全微分得到当前第4页\共有52页\编于星期二\11点随体导数：观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度t随时间θ的变化称为随体导数(Substantialderivatives)亦称拉格朗日导数(Largrangianderivatives)，以Dt/Dθ表示。当前第5页\共有52页\编于星期二\11点连续性方程的推导单组份系统：（输出的质量流率）—（输入的质量流率）＋累积的质量速率＝0在x左侧面：输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率zxydzdxdy(x,y,z)dydzρuxdydz当前第6页\共有52页\编于星期二\11点连续性方程的推导于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：同理在y方向：Z方向：当前第7页\共有52页\编于星期二\11点连续性方程的推导（输出的质量流率）—（输入的质量流率）＝累积的质量流率＝质量衡算：出—入＋累积＝0写成向量形式当前第8页\共有52页\编于星期二\11点连续性方程的进一步分析由于密度ρ是空间（x，y，z）和时间θ的连续函数，即ρ＝f(x,y,z,θ），那么ρ的随体导数将连续性方程展开，得到于是即为连续性方程的另一表达形式。当前第9页\共有52页\编于星期二\11点随体导数的意义局部导数：表示ρ在空间的一个固定点处随时间的变化；对流导数：表示密度由一点移动到另一点时所发生的变化。；的物理意义为：当流体质点在dθ时间内由空间的一点（x,y,z)移动到另一点（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度ρ随时间的变化率。当前第10页\共有52页\编于星期二\11点由于将上式对时间求随体导数，亦即上式的左侧表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右侧是速度向量的散度当前第11页\共有52页\编于星期二\11点几种特殊情况下连续方程简化稳态流动，密度不随时间变化，即上式可简化为：对于不可压缩流体，ρ＝常数，则无论稳态还是非稳态：

上式为不可压缩流体的连续性方程。即当前第12页\共有52页\编于星期二\11点例题某一非稳态二维流场的速度分布为：ux=-2x-4θ2，uy=2x+2y，试证明该流场中的流体为不可压缩流体。解：如流体不可压缩，则速度分量ux,uy,uz满足连续性方程。对于非稳态二维流动uz＝0,连续性方程化为当前第13页\共有52页\编于星期二\11点柱坐标和球坐标连续性方程式zxy(x,y,z)或（r,Φ,θ）zxy(x,y,z)或（r,θ,z）θΦθ当前第14页\共有52页\编于星期二\11点公式回顾：当前第15页\共有52页\编于星期二\11点连续性方程式为：当前第16页\共有52页\编于星期二\11点当前第17页\共有52页\编于星期二\11点于是柱坐标连续性方程为同理，可得球坐标连续性方程当前第18页\共有52页\编于星期二\11点运动方程通过微分动量衡算，可以导出流体的运动方程。运动方程与连续性方程结合起来，可以处理许多流体流动问题。同时运动方程在动量、热量与质量传递过程中也是求解大量有实际意义问题的基础方程。本节在推导运动方程时采用拉格朗日观点。当前第19页\共有52页\编于星期二\11点用应力表示的运动方程任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体的运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可理解为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和，即式中F——诸外力向量之和

M——流体的质量；

u——流体的速度向量

θ——时间。由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图2－3所示，考察该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。当前第20页\共有52页\编于星期二\11点zxydzdxdy设在某一时刻θ，此微元系统的体积为dv＝dxdydz(注意其体积和位置是随时间改变的)，将牛顿第二定律应用于此微元系统得式中，ρ为流体的密度；为流体的加速度，之所以采用随体导数是应用了拉格朗观点的缘故；dF为作用在微元系统上的合外力。根据力学习惯，质量与加速度的乘积，为惯性力dFi，故该式可写成：其直角坐标系x,y和z方向的分量分别为当前第21页\共有52页\编于星期二\11点作用在流体上的外力分析

体积力：(Bodyforce)亦称质量力，是作用在所考察的流体整体上的外力，它本质上是一种非接触力。例如地球引力、带电流体所受的静电力、电流通过流体产生的电磁力等均为体积力。

表面力：流体团与其周围环境流体(有时可能是固体壁面)在界面上产生的相互作用力称为表面力(surfaceforce)。表面力又称为机械力，本质上是一种接触力。流体的压力、由于粘性产生的剪力均属表面力，以Fs表示。Fs可以分解为两个分量：一个与作用表面相切，称为切向表面力或剪切力，另一个与作用表面相垂直，称为法向力。当前第22页\共有52页\编于星期二\11点体积力

令fB表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐标x，y，z方向上的分量分别为X，Y和Z，则根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质量力为写成坐标分量形式为当前第23页\共有52页\编于星期二\11点表面力yzxτxxτxyτxz单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，表面应力亦可分解为法向应力和剪应力，一般记为τ。τxy

第一个下标表示应力分量的作用面与x轴垂直。第二个下标x、y、z表示应力方向为x轴、y轴和z轴方向。τxx

表示法向

应力分量。拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为负。这三个表面应力分量中．一个是法向应力分量τxx另外两个是剪应力分量τxy和τxz。小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。当前第24页\共有52页\编于星期二\11点六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三个平行于x、y、z三个坐标轴的应力分量3×6=18个在x、y、z方向上各有六个。当小微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的。故只需采用9个机械应力就可以完全表达：3个法向分量，6个切线分量。zxydzdxdy当前第25页\共有52页\编于星期二\11点现将上图中的流体微元在x—y平面的一个相应的平面分离出来加以考察。环绕该平面四周所作用的4个剪应力，可表示在右图中。由图可见，假如有一根平行于z轴的轴线或z轴本身穿过该流体微元的形心O点时，显然，出于上述这四个剪应力对于上述的旋转轴线产生力矩，而会使流体微元围绕旋转轴旋转起来。由力学的知识可知对于旋转轴线所产生的力矩应该等于流体微元的质量、旋转半径的平方以及角加速度三者的乘积。

dy/2dx/2odx/2dy/2xy力矩＝质量×旋转半径2×角加速度当前第26页\共有52页\编于星期二\11点力矩＝质量×旋转半径2×角加速度当小微元体积趋近于0使旋转半径趋近于0得，同理：∴当前第27页\共有52页\编于星期二\11点用应力表示的运动方程作用在流体微元系统上的合外力为体积力与表面力之和，即下面首先考察微元流体系统在x方向上受到的体积力和表面力。显然由前面的讨论可知当前第28页\共有52页\编于星期二\11点X方向表面力zxydzdxdy简化后：当前第29页\共有52页\编于星期二\11点X方向总的外力分量dFx又因为则有同理上三式叫以应力表示的动量衡算方程，也称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推导奈维斯托克斯(Navier-Stokes)方程的基础。当前第30页\共有52页\编于星期二\11点问题与讨论当前第31页\共有52页\编于星期二\11点牛顿型流体的本构方程对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与y轴方向相同时，剪应力与剪切速率(或形变速率)成正比，即剪应力当前第32页\共有52页\编于星期二\11点τ与速度关联起来对于三维流动．情况要复杂得多，每一剪应力与其相应两方向的形变速率有关。经分析推导，其关系为当前第33页\共有52页\编于星期二\11点法向应力τ与速度关联起来流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流动时，这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体的压力，它使流体微元承受压缩，发生体积形变；其二由流体的粘性作用引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩发生线性形变。当前第34页\共有52页\编于星期二\11点下面六个剪应力和法线应力方程是直角坐标下牛顿型流体的本构方程A}当前第35页\共有52页\编于星期二\11点粘性流体的运动微分方程

（Navier-Stokes方程）将本构方程代入上式动量衡算方程，得：整理，得当前第36页\共有52页\编于星期二\11点粘性流体的运动微分方程

（Navier-Stokes方程）5个未知数，ux，uy，uz，ρ，p加上连续性方程和状态方程f(ρ，p)=0，5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解。运动方程的最终形式为当前第37页\共有52页\编于星期二\11点柱坐标当前第38页\共有52页\编于星期二\11点球坐标当前第39页\共有52页\编于星期二\11点球坐标当前第40页\共有52页\编于星期二\11点讨论①可以写成向量方程：惯性力质量力压力粘性力当前第41页\共有52页\编于星期二\11点讨论②推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定N-S是流体运动真实描述，目前也没有求出N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；③方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；④方程在一定条件下可以得到简化；当前第42页\共有52页\编于星期二\11点方程简化对于不可压缩流体ρ=const，则即代入下面Navier-Stokes方程得到，或者当前第43页\共有52页\编于星期二\11点将方程展开，得当前第44页\共有52页\编于星期二\11点重力项的处理X方向受力分析：体积力：表面力：受力平衡：当前第45页\共有52页\编于星期二\11点同理，得到：叫做（Euler’sEquation）欧