2021届高考数学强基计划模拟题18附答案解析

2021届高考数学强基计划模拟题18

一、单空题（本大题共8小题，共40.0分）

1.定理：若DE是AABC的中位线，则有SfDE：S^ABC=1：4.类比平面几何这个定理可知：若三

棱锥4-BCD有中截面EFG〃平面BCD,则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之比为.

2.已知命题：在平面直角坐标系中，,豳酬1的顶点魂f喷和僦几噂，顶点B在椭圆

［出£=箕就勒耻涉隗益=府二1可上，椭圆的离心率是e,则.油书嬴.=1,类比上述

：«?1缸M点般

命题有：在平面直角坐标系中，叙蜴的顶点题-4顾和露窗43顶点B在双曲线

.-4=蜘料鹤即口声=渥开晦上,双曲线的离心率是e,则一.

3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指痣小子算经》中记载的

算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放

形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左

到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，

十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：_|_T_川，则7288用算

筹式可表示为.

123456789

纵式IIIIIIIlliHillTTI!

机式=三至三J=L±去

4,表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第/列的数为切・.则

表中的数52共出现______次.

234567

35791113

4710131619

5913172125•••

61116212631・・・

71319253137—

—————・・・.・・

5.观察下列式子：

1_1

3—3；

3155,

1+±+±=2.

315357,

l+±+±+±=i.

31535639,

则可以归纳，当neN*时，有式子.

6.在平面几何中，有射影定理：“在AABC中，AB1AC,点4在BC边上的射影为C,有AB?=BD,

BC."类比平面儿何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正

确结论是：“在三棱锥4—BCD中，4。平面4BC,点4在底面BCD上的射影为。，则有

3

C

7.在十进制数中的运算规律是“满十进一”，类比这个运算规律,进行八进制的四则运算，请计

算53伊）x26e）=__.（运算结果必须用八进制数表示）

8.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

1112131415

根据以上规律，数阵中第n(nN3)行的从左至右的第3个数是.

二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

9.将正整数作如下分组：(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),

…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测工+53+55+・・・・・・+52它1的

结果，并用数学归纳法证明.

Si=1,

S2=2+3=5,

S3=4+5+6=15

54=7+8+9+10=34,

55=11+12+13+14+15=65,

56=16+17+18+19+20+21=111,

k1

10.(本小题满分12分)已知数列上J满足对=-，•&u=不丁，%G威'.猜想数列岳」的单调

性，并证明你的结论.

11.猜想J2n个个(neN*)的值.

参考答案及解析

1.答案：匕-EFG：匕-BCD=1：8

解析：解：AABC中，若DE是△48C的中位线，则有SAADE：S^ABC=1：4；

由面积的性质类比推理到体积的性质，类比这一性质，推理出：

若三棱锥A-BCD有中截面EFG〃平面BCD,则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为

^A-EFG:^A-BCD=1：8・

故答案为：匕-EFG：匕-BCD=1：8.

由已知“若。E是AZBC的中位线，则有S-DE：S-BC=1：4”可以类比这一性质，推理出若三棱锥

4-BCD中，有中截面EFG〃平面BCD,则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式.

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查类比推理，类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的

相似性或一致性，然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，是中档题.

域逑

端年端即窗1施叫普睥条sr1

解析：试题分析：在椭圆中^———.U.!=—=-,而在双曲线中

卸魄嫌怒|叫盟&■

色巴空阍解一|叫卜舐，所以有画磊晶匐【

城M盛’隹;蝴饿.康’曲

考点：本小题主要考查类比推理.

点评：正确理解所给命题的本质是正确解题的关键.

3・答案：Tiiinr

解析：解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位,

十万位用横式表示，则7288用算筹可表示为丁|X川，

故答案为:-min-

根据新定义直接判断即可.

本题考查了新定义的运用，考查学生对图形的认识，属于基础题.

4.答案：4

解析：解：。所表示第般行第九列的数，

由题意知第n行是首项为Ti+l,公差为n的等差数列，

ann=(n+1)+(n—1)xn=n2+1.

第i行第7列的数记为4”.那么每一组i与/的解就是表中一个数.

因为第一行数组成的数列&/0=12)是以2为首项，公差为1的等差数列，

所以4“=2+0-1)x1=/+1,

所以第/列数组成的数列=12)是以/+1为首项，公差为/的等差数列，

所以4“=/+1+(i-1)X/=〃+1.

令=ij+1=52,

即=51=1x51=17x3=3x17=51x1,

故表中52共出现4次.

故答案为：4.

斯”表示第几行第列的数，由题意知第行是首项为公差为建的等差数列，由此能求出

ri71n+1,ann；

利用观察法及定义可知第1行数组成的数列=1,2,)是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步

分析得知第/列数组成的数列4/(i=12)是以1+1为首项，公差为/的等差数列，同时分别求出通项

公式，从而得知结果.

此题考查行列模型的等差数列的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的性质.

5•答案：/专+?+…+1n

4n2-12n+l

解析：解：观察下列式子:

11

-----=―

1x33

1x33x55,

1,1,13

4H=一

1x3----3x5-----5x77

-1-+,--1--,-1---,-1-=一4

1X33x55x77x99

可以得到等式的左侧的项数与等式的个数相对应，分子是1,分母是连续的两个奇数的乘积，右侧分

母是左侧分母最大的一个奇数，分子是等式的个数，

当n€N*时，有式子9圭+”•+念7n

2n+l

故答案为：［+卷+域-*----*-]n

4n2-12n+l

观察已知条件，找出规律即可写出结果.

本题考查归纳推理，找出规律是解题的关键.

6.答案：S晨BC=S^BCO'S&BCD

解析：解：由已知在平面几何中，

若△4BC中，AB1AC,AD1BC,。是

垂足，

贝I〃B2=BDBC,

我们可以类比这一性质，推理出：

若三棱锥A-BCD中，4D1面ABC,4。JL面BCD,。为垂足，

则S3BC=SABC。,S&BCD-

故答案为鹿48c=S48co-S&BCD

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线

的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，(如图所示)若△ABC中，ABLAC,

AD1BC,D是垂足，则ZB?=BD-BC,我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥4-BCD中，AD1

面48C,40_L面BCD,。为垂足，=^ABCO'^ABCD

类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另

一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

7.答案:1662(8)

解析：解：53伊)x26伊)=(5x8+3)X(2X8+6)=43X22=946(10)=1662(8).

故答案为：1662(8).

根据八进制数转化为十进制数，计算后转化八进制数，进而得到答案.

本题考查的知识点是其它进制，其中正确理解八进制数转化为十进制数的规则，是解答的关键，属

于基础题.

8答案：日尹

解析：解：由排列的规律可得，第n-l行结束的时候排了l+2+3+…+(n-l)=生产个数.

所以n行从左向右的第3个数空生+3=贮=蛆.

22

故答案为之三蛆.

先找到数的分布规律，求出第71行结束的时候一共出现的数的个数，再求第71+1行从左向右的第3个

数即可.

本题借助于一个三角形数阵考查了数列的应用，是道基础题.

9.答案：解：由Si=1=14>S]+S3=1+15=16=24>S]+S3+S$=81=34,

猜想S]+S3+S5+…...+5271-1=M，兀6N*；

证明：当n=l时，Si=14=l,猜想成立，

假设时，=k4,k€N*.

n=eN*)S1+S3+S5+-...+S2k_1

当71=fc+1时，S]+S3+$5+……+$2上-1+Szk+l=k*+^2k+l=k?+[(2卜2+k+1)+(2/f2+

k+2)+•••+(2fc2+3k+1)]

1

=k2+-[(2k2+k+1)+(2k2+3k+l)](2/c+1)=k4+(2k2+2k+l)(2/c+1)

=/C4+4/C2+1+4k3+4k+2k2+1=(k2+2k+l)2=(k+l)4,

综上可得n=k+1也成立，

则S[+S3+S5+…...+Szn-i=n4,nEN*.

解析：计算I，S1+S3,S1+S3+S5,猜想S1+S3+S5+…...+52.-1=标，n€N*；运用数学归

纳法证明，注意由n=k推导n=k+l也成立，运用完全平方公式.

本题考查数学归纳法的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题.

10.答案：见解析。

解析：试题分析：写出数列前几项，观察发现规律，然后用数学归纳法证明，注意数学归纳法的步

骤.

下面用数学归纳法证明：(1)当匠T时，已证命题成立.

(2)假设当R二不时命题成立，即卜->易知区>0,

■11

那么