2021年高考数学模拟训练卷 (八十三)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷(83)

一、单项选择题(本大题共12小题，共60.()分)

1.己知集合4={制/-6x+8<0},B=(x\l<x<3,x&N},则AnB=()

A.(2,3]B.{3}C.{2,3}D.0

2.已知复数Zi=m+2i,z2=2-i,若/为实数，则实数，"的值为()

A.1B.-1C.4D.一4

3.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人

民生活中发挥着重要作用。某机构统计了2010〜2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图,

亿元

40000

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

0

A.2010〜2016年全国餐饮收入逐年增加

B.2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上

C.2010〜2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年

D.2010〜2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个

4.在等差数列{an}中，己知。4+。8=16,则该数列前11项和Su=()

A.58B.88C.143D.176

5.若双曲线M:，'=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别是RAP为双曲线M上一点，且|P&|=

15,\PF2\=7,\FtF2\=10,则双曲线M的离心率为()

A.3B.2C.-3D.-4

6.函数/（%）=ln|x|-/的大致图象为（）

7.在如图所示的矩形ABC。中，AB=2,AD=1,E为线段BC上的点，则而.加的

最小值为（）

A.2

D竺

•4

C-T

D.4

8.己知将函数f(x)=cos(<ox4-9)(3>0,0<<£后，所得图象关于y轴

对称，且/■(())=¥，则当3取最小值时，函数/(X)的解析式为()

A./(%)=cos(5x+B./(x)=sin(9x-^)

C./(x)=cos(3x+$D./(x)=cos(|x+力

9.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.2

4

B-

3

c-

D-3

10.数列｛册｝中，%=1，劭=3,且数列｛K3｝是等比数列，则他等

于（）

A.7B.8C.6D.5

11.过抛物线y2=x的焦点F的直线/交抛物线于A,B两点，且直线/的倾斜角。2%点A在x轴

的上方，则|凡4|的取值范围是（）

A.（l,l+争B.$1+争C.（；,1]D.（0,l+争

12.已知函数/'(%)=(%-l)e"-Q仇x在停,3]上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.[9e3,4-oo)B.(-00,9s3]C.[4e2,+oo)D.(-8,4吟

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知x是[-10,10]上的一个随机数，则使x满足一2S3的概率为.

2x—y+6N0

14.已知实数x、y满足卜+yN0,则目标函数z=x+y的最大值为.

X<2

15,将5位老师分别安排到高二的三个不同的班级任教，则每个班至少安排一人的不同方法数为

16.正四面体ABC。的体积为日，则正四面体ABC。的外接球的体积为____.

3

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在△ABC中，设2=百一1,半=土£,求角A,B,C.

ctanCc

18.如图，在四棱锥P-4BC。中，底面ABC。为平行四边形，^ACD=45°,CD=2,△PAC为边

长为鱼的等边三角形，PALCD.

(1)证明：平面PCD1平面ABCQ；

(2)求二面角4-PB-C的平面角的大小.

p

19.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；

己知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，在前3次投篮中，乙投篮的次数为f,求随机变量f的

概率分布、数学期望和方差.

20.设圆/+y2+2x—15=0的圆心为A,直线/过点BQ0)且与x轴不重合，/交圆4于C,。两

点，过B作AC的平行线交AO于点E.

(1)证明EA1+IED为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线G，直线/交G于N两点，过B且与/垂直的直线与圆A交于P,Q

两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

21.若/i(a)/i(b)<0,则九。)在单调区间(a,b)上存在唯一零点质,求证：函数/(x)=等-g%+b在

区间(l,e)上存在最大值.

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为［”=：cosa,«为参数)，在以坐标原点为极点，1

(y=tsina

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G：p=2cos。，曲线C2：P=cos(e-g).

(I)求C2的直角坐标方程；

(II)若直线/与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值.

23.设函数(f%)=氏-1|+|%—21

(1)解不等式/(无)>5-%；

(2)若/(x)>i-1对VxGR恒成立，求实数a的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：A={x|2<x<4],B=[2,3}；

・•・AnB={3}.

故选：B.

可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可.

考查描述法、列举法的定义，

2.答案：D

解析：解：复数Zi=m+2i,z2=2-i,

.z〔_m+2i_(m+2i)(2+i)_2m-2+(m+4)i

“5-2-i-(2-i)(2+0—5，

・咛为实数,

z2

・•・771+4=0,

・・.m=-4.

故选：D.

通过复数的代数形式的混合运算化简复数为a+儿的形式，利用复数是实数，虚部为0,即可求出〃?

的值.

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，基本知识的考查.

3.答案：D

解析：

本题考查命题真假的判断，考查条形图、折线图等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，

由2010年至2016年我国实际利用外资情况统计图直接求解，是基础题.

解：由条形图可知2010〜2016年全国餐饮收入逐年增加；

2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上；

2010〜2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年；

显然，2010〜2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2个.

故。错误.

故选。.

4.答案：B

解析：解：••,在等差数列｛即｝中，已知。4+。8=16,

**,Q]+=。4+。8=16,

S11=iiS'+a"）=88,

故选：B.

根据等差数列的定义和性质得%++。8=16,再由S11=11（。；用）运算求得结果.

本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前〃项和公式的应用，属于中档题.

5.答案：D

解析：

利用勾股定理以及双曲线的定义，求出a,c即可求解双曲线的离心率即可.本题考查双曲线的简单

性质的应用，考查计算能力.

解：因为P为双曲线"上一点，且俨&|=15,仍61=7,尸/2|=10，

由双曲线的定义可得|PF/-IPF2I=2a=8,I&F2I=2c=10,

则双曲线的离心率为：e=-=p

a4

故选。.

6.答案：C

解析：

本题考查对数函数的性质，由函数的性质入手是解决问题的关键，属中档题.根据题意可得函数为

奇函数，排除选项，利用特殊点的位置判断选项即可.

解：由题意可得函数的定义域为（一8,0）（J（0,+8）,

函数/（无）=ln|x|-x3,

当x<0时，可得/（工）=In（-工）-J,

由y：hi（-工）与y=-%3在（-8,0）上均单调递减,

故/'(x)在(—8,0)上均单调递减，排除A,B,D.

故选C.

7.答案：B

以B为坐标原点，8c所在直线为x轴建立直角坐标系,

则4(0,2),D(l,2),F(x,0),

所以南.赤=(x,-2)-(x-1,-2)

=X2—x+4

=。_》2+奉

因为E为线段BC上的点，所以x6[0,1],

所以当x=：时，AE■屁取得最小值手.

24

故选：B.

以8为坐标原点，8c所在直线为x轴建立直角坐标系，利用坐标表示荏.反，计算它的最小值.

本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目.

8.答案：C

解析：

本题主要考查函数y=As讥(3%+0)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题，利

用函数y=As讥(3丫+尹)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，可得一翳+W=/OT,keZ,

(P=g求得3的值，可得函数f(x)的解析式.

解：将函数/(X)=cos(3X+8)(3>0,0<W<])向右平移2个单位长度后，可得y=COS(3X-得+

0)的图象，

根据所得图象关于y轴对称，可得一雪+3=1兀，k€Z.

再根据/(0)=苧可得cosw=浮二W=%

•"翳+?=kn,3=12k+3,则当3=3取最小值时，函数“X)的解析式为f(x)=cos(3x+》

故选C.

9.答案：C

解析:

本题考查通过三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题.

通过三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

解：如图所示，由三视图可知，

在三棱锥P-4BC中，P4_L平面ABC,底面△4BC为等腰三角形，且底边长为2,高为1,

故三棱锥的体积为5.诋=I-ShABC-P>4=1x|x2xlx2=|.

故选C.

10.答案：A

解析：解：•・•数列｛三是等比数列，其公比为",

设生=总

,"2=±=3%=六=；

・_如_1

•・q-^-2

b3

■■s=b5q=1

.1—1

"a8+l-8'

CLQ=7,

故选：A.

根据数列｛士r｝是等比数列，其公比为4,设bn=±,求出公比，即可得到三7=:，解得即可，

U^T1Clfi"r1.UgT1o

本题考查了等比数列的通项公式，考查额运算能力，属于基础题.

11.答案：B

解析：

本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.

通过抛物线方程可知焦点F(；,0),一方面通过点A在x轴上方可知|F*cos。=办一］,一方面利用

抛物线定义可知|凡4|=马+；,联立消去孙可知|凡4|=不蔼，利用。6碎㈤计算即得结论.

解：••・抛物线方程为y2=%,

其焦点尸&,0),

•••点A在x轴上方，

•••\FA\cos0=\

由抛物线定义可知：\FA\=xA+^,

1

\FA\=—J，

1-COS0

•••0e《,兀)，

**•COSdE(-1,~y\1

•中*=嘉6(h+争，

故答案为艮

12.答案：A

解析：

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力.属于基础题.

求导，再构造函数，利用函数的单调性求解函数的最值即可.

解:由题意得［⑺=xe，-三。在［：,3］上恒成立，则a2广］在［|,引上恒成立,

令。(%)=x2ex,g'(%)=(x2+2x)ex>0,

所以g(x)在质3］单调递增，所以g(x)在已3］最大值为9e3.

所以aZ9e3.

故选：A.

13.答案；；

4

解析：解：由测度比为长度比可得，

在［—10,10］上随机取一个数x,则使x满足—2<x<3的概率为p=W2张=

故答案为：

4

直接利用测度比为长度比得答案.

本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题.

14.答案：12

解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)

由z=x+y得y=—x+z,平移直线y=—x+z,

由图象可知当直线y=-x+z经过点A时、直线y=-x+z的

截距最大，

此时Z最大.由已久-y+6=°解得4(2,10).

代入目标函数z=x+y得z=2+10=12.

即目标函数z=x+y的最大值为12.

故答案为：12.

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移

即可求z的最大值.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利用平移确定目标

函数取得最优解的条件是解决本题的关键.

15.答案：150

解析：解：根据题意，分2步进行分析：

①、将5名实习老师分为3组，

若分为2、2、1的三组，有建笋=15种分组方法；

若分为3、1、1的三组，有猿=10种方法，

则一共有15+10=25种分组方法；

②、将分好的三组对应3个班级，有a=6种情况，

则共有25x6=150种不同的分配方案.

故答案为：150.

根据题意，分2步分析：先将5名实习老师分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组或3、

I、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，

第二步，将分好的三组对应3个不同的场馆，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理

计算可得答案.

本题考查排列、组合及分步乘法原理的应用，注意本题的分组涉及平均分组与不平均分组，要用对

公式.

16.答案：^-na3

2

解析:

本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

由题意画出图形，设正四面体ABC。的棱长为无，由已知求得X,进一步求出外接球半径，代入体积

公式求解.

解：如图,

设正四面体A8Q）的棱长为x,过4作ADLBC,

设等边三角形ABC的中心为。，则40=2/1。=3%,

33

・•・PO=_谭%/=乎第，

VP-ABC=\'\X•yx•=y）即尤=企必

再设正四面体ABC。的外接球球心为G,连接GA,

则R2=（当以+（誓a—R）2,即R=苧a.

・••正四面体ABCD的外接球的体积加=7X亭尸="

故答案为：如

17.答案：（本题满分为14分）

A7JitanB2a-c砥sinBcosC2sinA.-=v/,v\sinA2sinA-八、

解：：由嬴==,得：嬴7蒜=赤一1，可得：嬴浪防=三方’…⑪分）

二整理解得：cosB=：,可得：B=g,可得：力+C=与....（6分）

4+CA-C

•••岑+1=8,可得；竺上解得：cos5^=sine=cosG—C），

sinCsinC22'

等=］一C或竿=。一］…［12分）

A+C=n,或3c—4=兀,

二当4+C=兀时，由于A+C=等，矛盾,

可得：3。-4=兀，结合力+。=拳可得：c="，4=%..（14分）

解析：利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得cosB=1,结合B的范围可求8的值,

利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos”=cos《-C）,利用余弦函数的

性质即可得解3。-4=兀，进而可求C,A的值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质

在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.答案：证明：（1）△ACD'V^ACD=45°,

CD=2,AC=V2,

由余弦定理可得，AD=42,

故心+心=CD?,

所以NCAD=90。，且△ACD为等腰直角三

角形.

y

取C。中点0,由力C=4D得，>401CD

连PO,PA1CD,

所以CO_L平面POA,所以CDJ.P。

又40=1,PO=1,PA=>/2

所以，AO2+P02=PA2,：.PO1AO

又4。U平面尸CO所以P。1平面ABCD

又POU平面PCD

所以平面PCDJ■平面ABCD.(6分)

解：(2)以。为原点，OD、OA、OP分别为x、八z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1),4(0,1,0),C(-l,0,0),0),

设平面PAB的法向量五=(x,y,z),

PA=(0,1.-1).BA=(2,0,0),

则屉里=o,即y-广。令y=i,贝ijz=i,所以元=(o,i,i)

同理，平面PBC的法向量钻=(LI,-1)

故cos(五，记>==0,0=90°.

阿m|

所以，二面角4-PB-C的平面角为90。.(12分)

解析：(1)由余弦定理可得，AD=<2,推导出4040=90。，且△4CD为等腰直角三角形.取CD中

点。，由ZC=4D得，401。。连「。，PALCD,从而CDJ_平面POA,CD1PO,求出POJ.AO,

由此能证明平面PCO，平面ABCZX

(2)以。为原点，OD、04、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4一

PB-C的平面角.

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.答案：解：随机变量f的可能取值为0,1,2,

P(f=0)=[x泻，

随机变量6的概率分布表:

012

171

P

9182

E(f)=0x/lx»2x；条

心)=(。-解吗+(1—书2乂3+(2一款x；=券

答：随机变量6的数学期望为荒，方差为孤.

解析：本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，随机变量f的可能取

值为0,1,2,分别得出对应概率，即可得出随机变量f的概率分布、数学期望和方差.

20.答案：解：(1)­••\AD\=\AC\,EB//AC,^/.EBD=^ACD=/.ADC,

|FB|=\ED\,故|E4|+\EB\=\EA\+\ED\=\AD\.

又圆A的标准方程为(x+l)2+y2=16,从而[4D|=4.

•••|EA|+|E8|=4.由题设得A(-l,0),6(1,0),\AB\=2,

由椭圆定义可得点E的迹方程为：9+?=l(y#0).

(2)当/与X轴不垂直时，设/的方程为y=k(x-l)(kM0),时(孙乃),/V(x2,y2).

y=fc(x—1)

/y2[得(软2+3)/-8k2%+4好—12=0.

{—I—=1

43

2

则X1+犯=黑,尤/2=器詈・•・•|MN|=Vl+fc!%!-x2|=嘤著.

过点B(l,0)且与/垂直的直线机：y=-*—1),A到，"的距离为扁，

\PQ\=2I42-(^|=)2=41^^.

q\ZH+j7k2+i

故四边形MPNQ的面积S=2|MN||PQ|=12J]

可得当/与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为口2,84).

当/与x轴垂直时，其方程为％=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPN。的面积为12.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8/).

解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，点的轨迹方程，属于中档题.

(1)根据图形中圆的半径相等及平行线同位角相等容易得出EB=ED,得出结论|EA|+|EB|为定值,

利用定义可以判断出点E的轨迹为椭圆，求出方程，但要注意标注范围；

(2)求对角线互相垂直的四边形面积的最值，首先设直线方程联立方程组求弦长，表示出四边形的面

积，再求出面积的最值，注意直线的斜率不存在的情形.

21.答案：证明：由条件函数的定义域是(0,+8),

1111—hu：--x2--X2—liix+1

=li"=_________2_=_2___________，

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