数学模型讲义

数学模型讲座

*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.数学科学的重要性

*科学技术是第一生产力；*信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；*“高技术”本质上是一种数学技术；*数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术；*计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；*在经济竞争中数学科学是必不可少的;现代数学：在理论上更抽象；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。*数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.

*更重要的方面是数学的思维方式的确立.21世纪科技人才应具备的数学素质与能力

数学运算能力

逻辑推理能力数学建模能力数据处理能力空间想象能力抽象思维能力更新数学知识能力使用数学软件能力第一讲数学模型的基本概念1.1数学模型的基本概念1.2建立数学模型的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1数学模型的基本概念我们常见的模型这里特别强调构造模型的目的性-模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次．一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型．如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真．但是不一定会飞．而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求．至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性．毫不涉及飞机的实体．所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的．我们已经看到模型有各种形式．用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型)．前者包括直观模型．物理模型等，后者包括思维模型，符号模型、数学模型等．直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大．主要追求外观上的逼真──这类模型的效果是一目了然的．

物理模型主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验．间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能等风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性．有些现象直接用原型研究非常困难，更可借助于这类模型，如地震模拟装置，核爆炸反应模拟设备等．应注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性．物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点．

思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式储存于脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。

例如：司机对方向盘的操纵、一些技艺性较强的工种(如钳工)的操作，大体上是靠这类模型进行的．通常说的某些领导者凭经验作决策也是如此，思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。

符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等．按一定形式组合起来描述原型．如地图、电路图、化学结构式等，具有简明，方便、目的性强及非量化等特点．本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法．什么是数学模型其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了．当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的，譬如你一定解过这样的所谓“航行问题”：你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了．那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数)；用字母表示待求的未知量(x，y代表船速和水速)；利用相应的物理或其它规律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学式子(二元一次方程)；求出数学上的解答(x=20，y=5)；用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20km／h和5km／h)；最后还要用实际现象来验证上述结果．

一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模1.2数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。●在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具．无论是发展通讯，航天、微电子，自动化等高新技术本身．还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段．数学建模，数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一．在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台．国际上一位学者就提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点．●数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地．随着数学向诸如经济．人口，生态．地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生．这里一般地说不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础．在这些领域里建立不同类型，不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地．马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”．展望2l世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期．今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用．分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型．预报与决策生产过程中产品质量指标的预报．气象预报、人口预报，经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案．是决策模型的例子．控制与优化电力、化工生产过程的最优控制，零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提．建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题．规划与管理生产计划．资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等．都可以用数学规划模型解决．

数学建模与计算机技术的关系密不可分．一方面，像新型飞机设计、石油勘探数据处埋中数学模型的求解当然离不开巨型计算机．而微型电脑的普及更使数学建模逐步进入人们的日常活动．数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？多包：皮小一些；少包：皮大一些。例1.3.1从包汤圆（饺子）说起面积、体积1.3数学建模示例通常，1公斤面，1公斤馅，包100个饺子今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。V和nv哪个大?Ssss…Vvvv(共n个)从包汤圆（饺子）说起定性分析V比nv大或小多少?定量分析从包汤圆（饺子）说起假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮的半径；r~小皮的半径V是nv的倍1.4买日用品的诀窍市场上牙膏、香皂和洗发精等日用品，同一种品牌一般有规格大小不同的包装，你是选择购买大包装还是购买小包装呢？例1.3.2椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定例1.3.3商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}例1.3.4

一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）

美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.

联想：安全、危险问题的关键*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）可利用的数据条件：

圆桶的总重量W=527.327（磅）

圆桶受到的浮力B=470.327（磅）

圆桶下沉时受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：

方程的解为计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0

分析：考虑圆桶的极限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！

结论：解决问题的方向是正确的.解决思路：避开求t0的难点

令v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圆桶下沉深度

代入（1）得两边积分得函数方程：

若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试)*用数值方法求出v(300)的近似值为

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)是一个单调上升函数，而v增大,y也增大,可求出函数y=y(v)

令v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出y=238.4(英尺)＜300（英尺）问题的实际解答：

美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。

例1.3.5

渡口模型

一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运过最多数量的车辆.

分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车.

准备工作：观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：(1)车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。解决方法采用模拟模型方法.分析

需考虑以下问题：(2)来到车辆中,轿车约占40％，卡车约占55％,摩托车约占5％；(3)轿车车身长为3.5～5.5米,卡车车身长为8～10米.

(1)应该怎样安排摩托车？

(2)下一辆到达的车是什么类型？(3)怎样描述一辆车的车身长度？

(4)如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？

问题的解决：(1)认为摩托车不会占有实际空间.(2)确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法00.550.951卡车轿车自行车汽车类型及车身长模拟原理分析(2)确定随机到达车辆的身长车。(3)关于车辆的排放.

甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为32×2=64米

排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？）

结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答.

将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义的.需多次重复模拟,再进行统计分析人口增长模型

据人口学家们预测，到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.

分析设任意时刻的人口总数为X(t)，影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？

例1.3.6如何预报人口的增长影响因素个体的出生、死亡

迁入、迁出

年龄结构

性别比例……背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长例1.3.6如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同，分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则．适用于一切实际问题的数学建模方法．下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的．1.4数学建模的方法和步骤数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.

*数学建模工作与问题的性质、建模的目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.

怎样构架这座桥梁？1.4.1数学建模的基本方法一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义．前面几个示例都是用的机理分析．测试分析将研究对象看作一个“黑箱”，系统(意思是它的内部机理看不清楚)，通过对系统输入，输出数据的测量和统计分析．按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型．黑箱系统输出y(t)输入x(t)求y=y(x)

建立输出和输入间的关系测量系统的输入、输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合.

*计算机模拟借助于计算机的快速运算，对实际研究对象的属性或变量进行模拟。计算机模拟可视为对研究对象进行的“实验”或“观察”

面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的．如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，建模就应以机理分析为主?而如果对象的内部规律基本上不清楚．模型也不需要反映内部特性(例如仅用于对输出作预报)，那么就可以用测试分析．对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数．1.3.6建立的人口模型就是这种情况．机理分析当然要针对具体问题来做，不可能有统一的方法，因而主要是通过实例研究(CaseStudies)来学习．测试分析有一套完整的数学方法，统计回归模型是其中的一小部分．以动态系统为主的测试分析称为系统辨识(SystemIdentification)，是一门专门学科．以后所说的数学建模主要指机理分析。数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤1.4.2数学建模过程模型准备一、问题分析1）、深入理解问题的含义和背景。2）、确立解决该问题的最高层目标。3）、从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目标的各个子层。4）、坚持抓主要因素和主要关系的原则二、符号设定符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都是相对独立地首先设定的。模型假设一、意义：假设是简化实际问题的必须手段。假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条理更加清晰。做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。二、作用：1、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密的相关因素及其关系。

2、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。3、降低问题难度。4、清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因素和关系，为以后改进模型奠定基础。三、原则：1、假设必须合理且典型。2、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。3、注重与建模其它阶段的配合。例１：方桌问题的假设：１）视方桌的４只脚依次为４个点。２）方桌是规则的，即４点在一个平面上。３）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。４）把放稳理解为４个脚同时着地。例２：物资调配问题的假设：1）工厂与仓库的货物没有差异。2）总费用只考虑各相关线路上的运量和仓库变更所导致的费用。3）各线路上的单位货物运费已知。4）公司固定资产按线性折旧。5）供方及需方的初始量均为零。模型建立和模型求解一、模型建立１、过程基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系，建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学形式。２、原则１）对问题每一个方面所选择的数学表达都应能合理表达该方面的因素间的关系。２）有利于模型的整合及模型的求解二、模型求解模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过程。2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工作一般无法完成。3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型，得到适应于问题要求的参考解。5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程，并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问题，自然不需要单独列出模型求解这一步。6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此，熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学建模中较好的软件包有：Mathematica;Matlab;SAS.模型检验一、模型的事实检验1、公理性检验.常用法则检验和自然法则检验.2、经验误差分析.建模碰到的有些问题是已经有研究历史的问题,如果所得的经验已被几乎所有事实证明,那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.二、模型的数学检验1、数值模拟检验2、统计检验.这种检验多用在数据建模的过程中.3、预测检验.借用所建模型模型,用历史预测现实,以验证模型的准确度.模型解的分析和检验始于现实世界并终于现实世界数学建模工作最终要得到现实问题的解答

求出模型的数学解以后，必须对解的意义进行分析、检验需讨论以下类似问题：1.这个解说明了什么问题？2.是否达到了建模的目的？3.模型的适用范围怎样？

例1《格列佛游记》中小人国的小人们为估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了一个数学模型

4.所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？……W=aH3

W是人的体重，H是人的身高.a=W/H3=3/0.5=24,检验：先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得

得模型为W=24H3

这是一个适用于肥胖人群的体重－身高模型。据此可计算得

身高为1.5米的儿童体重为W(1.5)=81(千克)；身高为2米的运动员体重为W(2)=192(千克).检验模型是数学建模工作的重要环节例2

将一块石头扔进洞中估计洞的深度.一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t和洞深h的关系模型：用到假设：k为比例系数.分析检验

1.检查模型的量纲是否正确?

*1石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;*2阻力产生的加速度也和速度正比.根据比例系数k的定义有

LT－2=[k]LT－1

[k]=T－1

注意到exp(－kt)是无量纲量，可验证模型的量纲正确.

2.检验模型是否与物理定律相符?

若忽略空气阻力（即k=0）,应有

h=0.5gt2

验证模型是否与此物理定律相符.能否将k=0代入模型？3.

参数的灵敏度分析取参数k的值为0.05(克/秒),可算得即,若回声在4秒听到，模型测算出洞深73.50米.

又若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？令k=0.045,参数的相对变化幅度为︱0.045－0.05︱/0.05=10%，

计算得h2=h(4)≈73.98，洞深预测值相对变化幅度为

？（73.5－73.89）/73.5＜1%.

说明模型对空气阻力比例系数k不敏感,即对洞深预测影响不大,可忽略空气阻力.

4.

进一步分析空气的影响

若完全忽略空气的影响,有

h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，绝对误差为78.48－73.50≈5(米)，？结果分析说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响.模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音能立即听到.相对误差为（78.48－73.50）/73.50≈7%，未考虑声音在空气中的传播速度.

传播速度大约为330米／秒,则石头着地声音的传播时间大约为h／330≈73.5／330≈0.223（秒）取修正时间为t=4－0.223=3.777（秒）

可得h(3.777)≈65.77(米)

结论声速的影响远甚于空气阻力的影响.

通过对模型的分析、检验，发现由于模型假设不合理,考虑因素不合适,造成模型不合理.需重新进行问题的前期分析工作1.

量纲一致性检验；2.

假设的合理性检验；3.

对模型参数的灵敏度分析；4.

模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等；5.

参数或变量的临界值；……模型与模型解的分析与检验，通常需要做以下几类工作：

模型应用和模型评价1、模型应用的现实条件2、模型应用的理论条件一、模型分析和应用二、模型评价和推广

1、模型假设对模型的影响分析2、模型改进的方向和强度预测3、模型改进的允许环境模型评价模型应用模型检验数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践从前面几个建模示例以及一般步骤的分析，可以将数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型再从数学模型回到现实对象的循环．

应当指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按却就班，教材中的实例就采取了灵活的表述形式．1.5数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点模型的逼真性和可行性

一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象．但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析，预报，决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面,越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高．而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和抉择．模型的渐进性

稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学．热学．电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰．到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．模型的强健性模型的结构和参数常常是由模型假设及对象的信息如观测数据确定的，而假设不可能太准确，观测数据也是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有相应的微小变化．模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．模型的非预制性虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用．模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—endproblem)．在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生．模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的.模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划问题解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．有人说，建模目前与其说是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺性很强的技巧．经验，想像力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大．数学建模是一门“艺术”要获取这门艺术的真谛和内涵极富挑战性！！！模型的局限性这里有几方面的含义．第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将