2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第三章 圆锥曲线的方程 专题强化练7 离心率及其取值范围

第三章圆锥曲线的方程专题强化练7离心率及其取值范围1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PFA.0,C.12.已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆E的两个焦点,P是E上的一点,若PF1·PF2=0,且S△F1PFA.2C.23.(2023湖北华中师大一附中期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△PF1F2为等腰三角形,则椭圆A.1C.23,14.(2023天津一中期中)已知F1,F2分别是双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1FA.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)5.(2023江苏南京师范大学附属中学月考)已知F1,F2为椭圆E和双曲线C的公共焦点,P是它们的一个公共点,e1,e2分别为它们的离心率.若∠F1PF2=60°,则1e1+1A.34C.36.(2023河南洛阳新安一中期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,双曲线C的一条渐近线与圆A:(x-a)2+y2=b2交于P,Q两点,A.2B.C.27.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别是C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过线段OE的三等分点(靠近O点A.13C.28.(2023四川南充开学考试)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为右顶点,B为上顶点,若在线段AB上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得PA.0,C.0,9.(2023重庆七中期中)如图,F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,经过F2作直线l与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B.若|AF2|=110.(2023河北廊坊月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,且cos∠F1PF2=79,若F1关于∠F1PF2平分线的对称点Q11.(2023北京清华附中朝阳校区期中)如图所示,椭圆E的中心为坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,左、右焦点分别是F1,F2,延长B1F2交A2B2于点P,若∠B1PA2是钝角,则椭圆E的离心率e的取值范围是.

12.(2023山东济南历城第二中学月考)已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有S△13.(2023重庆南开中学月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,斜率为12的直线l经过左焦点F1且交C于A,B两点(点A在第一象限),设△AF1F2的内切圆半径为r1,△BF1F2的内切圆半径为答案与分层梯度式解析专题强化练7离心率及其取值范围1.C2.C3.D4.A5.D6.C7.B8.D1.C由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即23a≤2c,所以e≥13,又0<e<1,所以13≤e导师点睛解决圆锥曲线的离心率问题的主体思路是找出a,c之间的倍数关系.一般有两种办法:①当题中已知的圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时,尽量考虑用定义求解;②利用题中的几何关系得到a,c的关系式.2.C由题意得PF1⊥PF2,则P由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,所以(|PF1|+|PF2|)2=4a2,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2,所以|PF1|·|PF2|=2a2-2c2,又S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c23.D设椭圆C的上、下顶点分别为P1,P2,则△P1F1F2与△P2F1F2均为等腰三角形.由题知,椭圆C上恰有6个不同的点P,使得△PF1F2为等腰三角形,所以在四个象限内各有一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,根据椭圆的对称性,只考虑第一象限的情况即可.①令|PF1|=|F1F2|=2c,如图1所示,由图可得a<|PF1|<a+c,即a<2c<a+c,得12<e<1②令|PF2|=|F1F2|=2c,如图2所示,由图可得a-c<|PF2|<a,即a-c<2c<a,得13综上可得,离心率e的取值范围是13,12图1图2导师点睛解决圆锥曲线离心率的取值范围的问题的主体思路是建立一个关于a,b,c的齐次不等式,常用的方法如下:利用三角形三边关系建立不等式,利用判别式、三角函数的有界性、点或者线与圆锥曲线的位置关系、题设中已知的角度关系或长度(面积)关系等建立不等式.4.A依题意不妨设F1(0,c),F2(0,-c),则过F1且与渐近线y=abx平行的直线的方程为y=a联立y=因为M在以线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2内,所以−bc2a2+c22<c2,化简得b2<3a2,即c2-a2<3a2,故ca<2,又双曲线的离心率e=ca5.D不妨设椭圆E的方程是x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线C的方程是x2a22−y2b22=1(由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,在△F1PF2中,由余弦定理可得,(2c)2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60°,即4c2=a12+3a2由柯西不等式得1+131e12+3e22即1e1+1e2≤433,当且仅当3e22=1故选D.知识延伸柯西不等式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.6.C由题得渐近线方程为y=±bax,不妨设渐近线y=bax与圆A:(x-a)2+y2=b2相交,且P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=bax,(x−a)2+y2=b2,消去y,得(a2+b2)x2-2a3x+a4-a2b2=0,所以c2x2-2a3x+a4-a2所以F1P=(x1+c,y1),F1O=(c,0),F1Q=(x2又因为F1所以x1+c+c=2(x2+c),所以x1=2x2,所以x1+x2=3x2=2a3c2,所以x2=2所以x1x2=2x22=a所以4a69c4=a4−a2b22所以9e4-18e2+8=0,所以e2=23又双曲线的离心率e>1,所以e=2337.B解法一:如图所示,记线段OE的三等分点Q(靠近点O)的坐标为(0,m),m>0,则E(0,3m),从而直线AE的方程为x−a+y3m=1,由题意,可设直线AE与直线BM的交点M的坐标为(-c,y0),所以−c−a+y可得1+ca=31−ca,即1+e=3(1-e),解得解法二:如图所示,记线段OE的三等分点为Q(靠近点O).由PF⊥x轴,知Rt△BOQ∽Rt△BFM,于是|OQ||FM|=|OB||BF|,类似地,有Rt△AFM∽Rt△AOE,于是|OE||MF|=由①②得|OQ||OE|=a−ca+8.D易知点A(a,0),B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),则线段AB所在直线的方程为xa+在线段AB上(不含端点)任取一点P(x,y)(0<x<a),满足PF1·PF2=−c23,则y=b-bax,PF1=(-c-x,所以PF1·PF2=(-c-x)(c-x)+(-y)2=x2+y2-c2整理可得a2+由题意可知,关于x的方程a2+b2a2x2−2则Δ可得b2a2=1−c所以22<9.答案3解析由题意可得l:y=-ab(x-c)由y即Ba2由y=−∵|AF2|=13|BF2|,∴yB=3yA,即-abc∴c2=3(b2-a2)=3(c2-2a2),即2c2=6a2,∴e2=ca2=3,解得e=3(即双曲线的离心率为3.10.答案3解析由题可知P,F2,Q三点共线,设|PF1|=m,则|PQ|=m,又cos∠F1PF2=79,所以在△PF1Q中,由余弦定理得,|F1Q|2=m2+m2-2m2×79=49由椭圆定义可知|PF1|+|PQ|+|QF1|=m+m+2m3=4a,可得m=32a,所以|PF1|=32a,|PF在△PF1F2中,由余弦定理可得,|F1F2|2=|PF1|2+P即4c2=94a2+14a2-2×34a2×79=43a2,所以c11.答案5解析结合题图易知∠B1PA2是向量B2A2与F2B1的夹角.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,a则B2A2=(a,-b),F2B1=(-c,-b),∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,又b2=a2-c2,∴a2-ac-c2<0,∴e2+e-1>0,解得e<−1−52或e>5−12,又0<e<1,12.答案[2,+∞)解析设△PF1F2的内切圆的半径为r(r>0),由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则S△IPF1=12|PF1|·r,S△IPF2=因为S△IPF1所以12|PF1|·r−12|PF2|·可得2c≥|PF1|-|PF2|=2a,故e=ca≥2,故答