2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 本章复习提升

第一章空间向量与立体几何本章复习提升易混易错练易错点1对空间向量的相关概念理解不清1.(2023广东深圳实验学校期中)已知OA=(2,0,0),OB=(0,3,0),OC=(0,0,6),则以下与平面ABC平行的向量是()A.(1,-2,1)B.(1,-2,-1)C.(-1,-2,1)D.(1,2,1)2.(2023北京一零一中学期中)设A,B,C,D是空间内不共面的四点,且满足AB·AC=0,AD·AC=0,AB·AD=0,则△A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.任意三角形3.(2022山东青岛胶南一中月考)已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>等于.

4.已知向量a=(-2,1,4),b=(-4,2,t)的夹角为锐角,则实数t的取值范围为.

5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PB⊥底面ABCD,AB=BC=4,点E,F分别在AD,CP上,且DE=13DA,CF=13CP.证明:EF∥易错点2混淆向量夹角与空间角的三角函数名称及范围6.如图,在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC,BC=2OA,则异面直线OB与AC所成角的大小是()A.30°B.60°C.90°D.120°7.(2023天津实验中学期中)如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两互相垂直,OA=OC=3,OB=2,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.

易错点3不能正确建立空间直角坐标系解决立体几何问题8.(2023北京丰台段考)如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,AD∥BC,∠BAD=60°,且AD=DS=SA=AB=2,BC=3.(1)求直线SB与平面SCD所成角的正弦值;(2)在线段SD上是否存在一点M,使得平面MAC⊥平面SCD?如果存在,求此时SMSD的值;如果不存在,请说明理由思想方法练一、利用转化与化归思想解决空间几何问题1.(2023辽宁沈阳重点高中联合体段考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E为线段BC的中点.(1)求证:A1B∥平面AEC1;(2)若AA1=1,求二面角A-C1E-C的平面角的正弦值.二、利用函数思想解决空间几何问题2.(2023河南商开大联考期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,M,N分别是棱CC1,B1C1,BB1的中点,点F在线段MN上运动.(1)证明:A1F∥平面D1AE;(2)求直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值.三、利用方程思想解决空间几何问题3.(2023山西大学附中段考)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点M,N分别是边BC,CD的中点,AC∩BD=O1,AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置,连接PA,PB,PD,得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.(1)在翻折过程中,是否总有平面PBD⊥平面PAG?证明你的结论;(2)当四棱锥P-MNDB的体积最大时,在线段PA上是否存在一点Q,使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010?若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由图1图2

答案与分层梯度式解析第一章空间向量与立体几何本章复习提升易混易错练1.A2.B6.B1.AAB=OB−OA=(-2,3,0),AC=OC−OA=(-2,0,6).易知AB,AC不共线,若m=xAB+yAC(x,y∈R),则m与平面ABC平行.A选项中,记m=(1,-2,1),∵m=(1,-2,1)=-23AB+16AC,则m与平面ABC平行,而选项B故选A.易错警示1.空间向量是自由向量,可自由平移,因此当某向量与某一平面平行时,它与该平面内任一向量必共面.2.向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使p=xa+yb,要注意定理中的限制条件是向量a,b不共线.2.B∵BC·BD=(AC−AB)·(AD−AB)=AC·AD−AC·AB−AB·AD+AB2,且AB·AC=0,AD·AC=0,AB·AD=0,∴BC·BD=AB2>0,∴cos∠CBD=BC·3.答案1解析∵a+b+c=0,∴向量a,b,c首尾相连组成三角形,记三角形的顶点分别为A,B,C.令AB=c,CA=b,BC=a,则BC=2,CA=3,AB=4.在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠BCA=BC2+CA2−AB22BC·CA=22+3易错警示由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量AB和CA的夹角不是∠BAC,而是π-4.答案−52,8∪(8,解析∵向量a=(-2,1,4),b=(-4,2,t)的夹角为锐角,∴a·b=8+2+4t>0,解得t>-52当a∥b时,−2−4=12=∴实数t的取值范围为−52,8∪(8,+易错警示两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在解题时应注意排除向量a,b共线的情况.5.证明由题意知,BC,BA,BP两两互相垂直.以B为原点,BC,BA,BP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向设BP=a(a>0),则B(0,0,0),C(4,0,0),E83,4,0,F所以BC=(4,0,0),EF=易知BC=(4,0,0)是平面ABP的一个法向量.因为BC·EF=(4,0,0)·0,−4,所以BC⊥EF.又因为EF⊄平面ABP,所以EF∥平面ABP.6.B∵OA=OB=OC,BC=2OA,∴∠BOC=90°.∵OA=OC,∠AOC=60°,∴AC=OA.又OB·AC=OB·(OC−OA∴cos<OB,∴<OB,AC>=120∴异面直线OB与AC所成的角为60°.易错警示异面直线所成角的取值范围为0,π2,因此当对应向量的夹角为钝角时,7.答案3解析以O为坐标原点,OB,OC,OA的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向则O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),故OB=(2,0,0),AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3),设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则AB·m=2x−3z=0,AC·m=3y−3z故m=32∴|cos<OB,m>|=OB·m故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为317易错警示设直线l与平面γ形成的线面角等于α,平面γ的法向量与直线l的方向向量的夹角等于β,则α+β=90°或α+(180°-β)=90°,所以sinα=cosβ或sinα=-cosβ,故sinα=|cosβ|.解题时要注意两者之间的联系,并注意区分要求的三角函数名称.8.解析(1)取AD的中点O,连接DB,OB,SO.易得△SAD,△ABD均为等边三角形,所以SO⊥AD,OB⊥AD,由于平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,SO⊂平面SAD,所以SO⊥平面ABCD,又OB⊂平面ABCD,所以SO⊥OB,故SO,OB,AD两两互相垂直.以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,3),D(0,-1,0),C(3,-3,0),B(3,0,0),A(0,1,0),∴SD=(0,-1,-3),DC=(3,-2,0),SB=(3,0,-3设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则SD·n=−y−3z=0,DC·n=3x故n=(2,3,-1),设直线SB与平面SCD所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,SB>所以直线SB与平面SCD所成角的正弦值为34(2)存在.同(1)中所建坐标系,设SM=λSD=(0,-λ,-3λ),0≤则MA=SA−SM=(0,1+λ,3λ−3),由(1)知AC=(设平面MAC的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·取x1=4,则y1=3,z1=1+λ1−λ,故m由平面MAC⊥平面SCD得m⊥n,故8+3-1+λ1−λ=0,解得λ当λ=1时,M与D重合,此时平面MAC的一个法向量为OS=(0,0,3),易知OS与n不垂直,故不满足平面MAC⊥平面SCD.综上可知,在线段SD上存在一点M,使得平面MAC⊥平面SCD,此时SMSD易错警示运用“坐标法”解答空间几何问题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系.思想方法练1.解析(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OE,易知O为A1C的中点,又E为BC的中点,∴A1B∥OE,又A1B⊄平面AEC1,OE⊂平面AEC1,∴A1B∥平面AEC1.线面平行的证明一般转化为证平面外一条直线与平面内的一条直线平行.(2)易知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,又∠ABC=90°,故BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),E(1,0,0),C(2,0,0),∴AC1=(2,-2,1),C1E=(-1,0,-1),EC=(1,0设平面AC1E的法向量为n=(x,y,z),则n·令x=2,则z=-2,y=1,则n=(2,1,-2).易知AB⊥平面C1EC,∴AB=(0,-2,0)为平面C1EC的一个法向量,∴cos<n,AB>将求二面角的平面角转化为求对应两个法向量所成的角.设二面角A-C1E-C的平面角为θ,则sinθ=sin<n,AB>思想方法转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用主要表现在:将立体几何中的位置关系转化为空间两向量的关系(线性表示或数量积表示)或将空间角与空间距离的计算转化为空间两向量的相关运算,并结合所学的相关性质与定理进行求解.2.解析(1)证明:连接BC1,A1N,NE,A1M.∵M,N分别是B1C1,BB1的中点,∴MN∥BC1,又BC1∥AD1,∴MN∥AD1.∵MN⊄平面AD1E,AD1⊂平面AD1E,∴MN∥平面AD1E.易知NE∥A1D1,NE=A1D1,∴四边形A1NED1是平行四边形,∴A1N∥D1E.∵A1N⊄平面AD1E,D1E⊂平面AD1E,∴A1N∥平面AD1E.∵A1N∩MN=N,A1N,MN⊂平面A1MN,∴平面A1MN∥平面D1AE.又A1F⊂平面A1MN,∴A1F∥平面D1AE.(2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,2,1),∴D1E=(0,2,-1),AD1=(-2,0,2),NM=(-1,0∵点F在线段MN上,∴可设NF=λNM(0≤λ≤1),则F(2-λ,2,1+λ),∴EF=(2-λ,0,由点在线段上,结合共线向量定理引入变量λ.设n=(x,y,z)是平面D1AE的法向量,则n·D1E=0,n·AD1=0,即2y−z=0,−2x+2z=0,取z设直线EF与平面D1AE所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,EF=22结合向量的夹角公式,用含λ的式子表示出sinθ.

∵λ∈[0,1],∴当λ=1时,sinθ取得最大值,且(sinθ)max=22结合二次函数和反比例函数的性质,求得sinθ的最大值.

∴直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值为22思想方法函数思想在空间向量与立体几何中的应用主要表现在“运动问题”和“最值问题”中,构造出来函数后一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值.有时需要利用基本不等式求最值,此时要注意应满足基本不等式适用的条件.3.解析(1)在翻折过程中,总有平面PBD⊥平面PAG,证明如下:∵点M,N分别是边CB,CD的中点,且∠DAB=60°,四边形ABCD为菱形,∴BD∥MN,且△CMN是等边三角形,则△PMN为等边三角形,在菱形ABCD中,BD⊥AC,∴MN⊥AC,即MN⊥AG,MN⊥CG,故MN⊥PG.∵AG∩PG=G,AG,PG⊂平面PAG,∴MN⊥平面PAG,∴BD⊥平面PAG,∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAG.(2)易知四边形MNDB为等腰梯形,DB=4,MN=2,O1G=3,∴S等腰梯形MNDB=(2+4)×3要使四棱锥P-MNDB的体积最大,只需点P到平面MNDB的距离最大即可,易知当PG⊥平面MNDB时,点P到平面MNDB的距离最大,且PG=3.假设存在符合题意的点Q.以G为坐标原点,GA,GM,GP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz,则A(33,0,0),M(0,1,0),N(0,-1,0),P(0,0,3),∴NM=(0,2,0).易知平面PMN的一个法向量为(1,0,0),记n=(1,0,0),设AQ=λAP(0≤由点在线段上,结合共线向量定理引入变量λ.又AP=(-33,0,3),∴AQ=(-33λ,0,3λ),∴Q(33(1-λ),0,3λ),∴QM=(33(λ-1),1,-3λ).设平面QM