空间向量法解决立体几何问题全面总结演示文稿

空间向量法解决立体几何问题全面总结演示文稿当前第1页\共有34页\编于星期三\7点（优选）空间向量法解决立体几何问题全面总结当前第2页\共有34页\编于星期三\7点一.引入两个重要的空间向量

1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB当前第3页\共有34页\编于星期三\7点2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

αn当前第4页\共有34页\编于星期三\7点3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?

如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα当前第5页\共有34页\编于星期三\7点(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.当前第6页\共有34页\编于星期三\7点例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy当前第7页\共有34页\编于星期三\7点解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）当前第8页\共有34页\编于星期三\7点(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:第一步:写出平面内两个不平行的向量

a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量为当前第9页\共有34页\编于星期三\7点二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,则a⊥babab当前第10页\共有34页\编于星期三\7点例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD当前第11页\共有34页\编于星期三\7点证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

当前第12页\共有34页\编于星期三\7点(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,则L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.naααnaLL当前第13页\共有34页\编于星期三\7点例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy当前第14页\共有34页\编于星期三\7点解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E⊥平面DBC1(2),而

n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1当前第15页\共有34页\编于星期三\7点(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥ββαβαn2n1n1n2当前第16页\共有34页\编于星期三\7点例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1当前第17页\共有34页\编于星期三\7点证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得于是，设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),当前第18页\共有34页\编于星期三\7点2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.当前第19页\共有34页\编于星期三\7点例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD当前第20页\共有34页\编于星期三\7点解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|设DB1与CM所成角为θ,与所成角为α,于是：当前第21页\共有34页\编于星期三\7点(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,设L与α所成的角θ,n与a所成的角α

则θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa当前第22页\共有34页\编于星期三\7点例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO当前第23页\共有34页\编于星期三\7点解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，设与n夹角为α而∴故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30°.当前第24页\共有34页\编于星期三\7点（3）二面角设n1

、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n2αβn1n2当前第25页\共有34页\编于星期三\7点例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS当前第26页\共有34页\编于星期三\7点解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.当前第27页\共有34页\编于星期三\7点3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,

这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.∴

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB当前第28页\共有34页\编于星期三\7点例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1当前第29页\共有34页\编于星期三\7点解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴异面直线AC1与BD间的距离当前第30页\共有34页\编于星期三\7点(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

==.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ当前第31页\共有34页\编于星期三\7点例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxy