湖南省永州市龚家坪镇第一中学2021年高三数学理期末试题含解析

湖南省永州市龚家坪镇第一中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义域为的函数是奇函数，当时，||，且对，恒有，则实数的取值范围为（

）A．[0，2]

B．[，]

C．[1，1]

D．[2，0]参考答案：B2.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知函数，若存在满足的实数，使得曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的取值范围是（三分之一前有一个负号）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知命题．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是

A.a<0或a>l

B．

C．0≤a≤1

D．0<a<l参考答案：D5.若集合，则（

）A.B.C.D.参考答案：A6.已知，则一定满足A．

B．C．

D．参考答案：答案：D7.用表示三个数中的最小值，,(x0),则的最大值为（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C略8.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”的两数之和，表中最后一行仅是一个数，则这个数为（）A．2018×22016 B．2018×22015 C．2017×22016 D．2017×22015参考答案：B【考点】F1：归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）?22015=2018×22015故选：B．【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.若把双曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转一个角度后,能够得到一个函数的图象,则旋转角的最小值为（

）..

.

.

.非上述答案参考答案：C10.已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)的定义域为，，，若此函数同时满足：①当时，有；②当时，有，则称函数f(x)为函数．在下列函数中：①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）参考答案：①②对于①，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又，所以为增函数，因此当，即时，有，故．因此函数函数．对于②，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又，所以为增函数，因此当，即时，有，故．因此函数函数．对于③，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又函数在定义域上没有单调性，因此不能由，得到．因此函数不是函数．综上①②是函数答案：①②点睛：本题为新概念问题，在给出了“函数”概念的基础上考查学生的理解、运用能力．解答此类问题的关键是对所给概念的理解，并从中抽取出解题的方法及要求，然后通过对所给问题的分析，达到求解的目的．对于本题中给出的“函数”，实际上就是在定义域上单调递增的奇函数，解题时要注意这一点．12.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为

.

参考答案：2略13.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是

.参考答案：略14.已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．参考答案：充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b?α＞β成立，由正弦定理=得α＞β?sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．15.，求=

参考答案：略16.已知直线过点,且有一方向向量与向量垂直,则的方程为

.参考答案：17.（几何证明选讲选做题）如图,在中,斜边,直角边,如果以C为圆心的圆与AB相切于,则的半径长为_______.参考答案：.试题分析：在中，斜边，直角边，，由于是圆的切线，连接，，，得.考点：三角形的面积公式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG?EF=CE?GD；（2）求证：．参考答案：考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG?EF=CE?GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答： 证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG?EF=CE?GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG?GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．19.（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分别是AC，BC的中点，AB=，AC=2，PD=，Q为线段PE上不同于端点的一动点．(Ⅰ)求证：AC⊥DQ；(Ⅱ)若二面角B-AQ-E的大小为60°，求的值．参考答案：(Ⅰ)证明：∵PA=PB=PC，∴P在底面ABC的射影是△ABC的外心E，∴PE⊥面ABC，又ACì面ABC，从而PE⊥AC．……………… 3分又∵PA=PC，且D是AC的中点，∴PD⊥AC，∴AC⊥面PDE．又DQì面PDE，∴AC⊥DQ．………………… 6分 (Ⅱ)解法一: 过点B作BF⊥AE于F，易证BF⊥面PAE， 过F作FG⊥AQ于点G，连接BG， 则∠BGF即为二面角B-AQ-E的平面角．……

8分 在Rt△ABF中，由得． 在Rt△BGF中，由，所以． 在△AQF中，设，则， 由得,从而，…………

12分 又在Rt△PED中，，所以,从而．…… 14分 解法二：如图以A为原点，AB、AC分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则，，，

…… 8分设点，设面的法向量m=(x1,y1,z1). 由得 令，得．…………… 10分 设面的法向量n=(x2,y2,z2)， 由得 令得．… 12分由，得，又易求得，所以．……………

14分20.如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则kMA==，kMB=，kMD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），kMA==，同理，kMB=，kMD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．21.已知a为实数，函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，①求实数a的取值范围；②证明：．参考答案：（1）见解析；（2）①，②证明见解析．（1），当时，，函数在上单调递增；当时，由，得，①若，则，函数在上单调递增；②若，则，函数在上单调递减．（2）①由（1）知，当时，在上单调递增，没有两个不同的零点，当时，在处取得极小值，所以，得，所以的取值范围为．②由，得，得，所以，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要证，只需证，因为在上单调递增，所以只需证，因为，所以只需证，即证，令，则，因为，当且仅当时等号成立，所以当时，，即在上单调递减，所以，即，所以得证．22.（本题满分14分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列.