江西省上饶市宏才中学2021年高二数学理测试题含解析

江西省上饶市宏才中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若,则下列正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．？

B．

？

C．？

D．？参考答案：B3.能化为普通方程的参数方程为(

)

参考答案：B略4.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B5.不等式ax２＋bx+2＞０的解集是，则a－b等于

A.－4

B.14

C.－10

D.10参考答案：C6.命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0 B．若x≤1，则x＞0 C．若x＞1，则x≤0 D．若x＜1，则x＜0参考答案：A【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据否命题的定义：“若p则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”，所以应该选A．【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选A．【点评】考查否命题的定义．7.一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积（）A．12π B．9π C．4π D．π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】PC的中点为O，连接OA，OB，运用线面垂直的判断和性质，证得BC⊥PB，可得O为球心，求出半径，即可得到体积．【解答】解：一个高为2的三棱锥P﹣ABC，如图所示，PC的中点为O，连接OA，OB，由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB，即有BC⊥PB，可得OA=OB=OC=OP，即O为球心，半径为，则球的体积为V=π?（）3=4π．故选：C．8.已知，,=3，则与的夹角是 (

)

A．150

B．120

C．60

D．30参考答案：B略9.已知随机变量ξ，η满足ξ+η=8，且ξ服从二项分布ξ～B（10，0.6），则E（η）和D（η）的值分别是（）A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6参考答案：B【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据变量ξ～B（10，0.6）可以根据方差的公式做出这组变量的方差，随机变量ξ+η=8，知道变量η也符合二项分布，即可得出结论．【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵ξ+η=8，∴η=8﹣ξ∴Eη=E（8﹣ξ）=8﹣6=2，∴Dη=D（8﹣ξ）=2.4．故选：B．10.已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（

）A.

B.或C.

D.或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象与直线相切，则a等于_____．参考答案：【分析】设切点坐标为，根据切线斜率为可得出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程，即可求得实数的值.【详解】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率为，解得，所以，切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线方程求参数，要注意以下两点：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为切线与函数图象的公共点.考查计算能力，属于基础题.12.已知两个单位向量，满足，则与的夹角为_______参考答案：【分析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角.【详解】由题意知：

本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是通过平方运算得到向量的数量积运算的形式.13.在数列{an}中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为

．参考答案：略14.函数的定义域是

参考答案：15.已知，则的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．参考答案：试题分析：由题意得，因为，所以，所以.考点：不等式的性质.16.定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是

.参考答案：R

17.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设焦点在x轴上的双曲线方程为（a，b＞0），由c=6，得到a2+b2=36．再由渐近线方程，运用夹角公式，得到a，b的方程，解得即可得到双曲线方程和离心率．【解答】解：设焦点在x轴上的双曲线方程为（a，b＞0）则渐近线方程为y=x，2c=12，即c=6，即有a2+b2=36．①它的两条渐近线的夹角为，则有tan=||，即有2ab=（a2﹣b2）．②由①②解得，a=3，b=3或a=3，b=3，则双曲线的方程为=1及离心率e==，或=1，e=2．19.如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．参考答案：【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定．【分析】证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，进而得到平面AMN∥平面EFBD．证法二：求出平面AMN的法向量和平面EFBD的法向量，根据两个法向量平行，可得平面AMN∥平面EFBD．【解答】（本小题满分13分）证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），M（2，0，4），N（4，2，4），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O（2，2，0），K（3，1，4），G（1，3，4）．=（2，2，0），=（2，2，0），=（﹣1，1，4），=（﹣1，1，4），∴∥，，∴MN∥EF，AK∥OG，∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．证法二：设平面AMN的法向量是=（a1，a2，a3），平面EFBD的法向量是=（b1，b2，b3）．由，得取a3=1，得=（2，﹣2，1）．由，得取b3=1，得=（2，﹣2，1）．∵∥，∴平面AMN∥平面EFBD．20.在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣E的余弦值．参考答案：【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）将DF平移到CG的位置，欲证DF⊥平面ABE，即证CG⊥平面ABE，根据线面垂直的判定定理可知，只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可；（2）过点A作AM⊥BE于M，过点M作MN⊥BD于N，连接AN，∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角，在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG、FG．因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．又因为CD=1，，所以CD=GF．所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．因为EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以EA⊥CG．而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（Ⅱ）因为DF⊥平面ABE，DF?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．过点A作AM⊥BE于M，则AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．过点M作MN⊥BD于N，连接AN，则BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．所以∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角．在Rt△ABE中，．因为，所以△ABD是等边三角形．又AN⊥BD，所以，NM=．在Rt△AMN中，．所以二面角A﹣BD﹣E的余弦值是．21.甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和.记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，（I）试用，表示，；（II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；（III）