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文档简介
江苏省镇江市丹徒荣炳中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}的公比为q,若成等差数列,则q的值为(
)A.
B.
C.或
D.1或2参考答案:2.已知a=log5,b=log23,c=1,d=3﹣0.6,那么()A.a<c<b<d B.a<d<c<b C.a<b<c<d D.a<c<d<b参考答案:B【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数、指数数的性质求解.【解答】解:∵a=log5<=﹣2,b=log23>log22=1,c=1,0<d=3﹣0.6<30=1,∴a<d<c<b.故选:B.3.已知函数,则的值为(
).A.1
B.2
C.4
D.5参考答案:D略4.如图是一个空间几何体的三视图,这个几何体的体积是()A.2πB.3π
C.6π
D.9π参考答案:D5.
A.a+bA B.a+bB C.a+bC D.a+bA,B,C中的任一个参考答案:B6.下列函数是偶函数且在区间(-∞,0)上为减函数的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C试题分析:和均是奇函数,是偶函数,在上是减函数;二次函数是偶函数,且在上是增函数.
7.已知数列{an}为等比数列,,,则的值为(
)A.7 B.-5 C.5 D.-7参考答案:D【分析】利用等比数列的性质及通项公式,列方程组求解a1,q的值,再求解a1+a10的值【详解】a4+a7=2,a5?a6=﹣8,由等比数列的性质可知a5?a6=a4?a7a4?a7=﹣8,a4+a7=2,∴a4=﹣2,a7=4或a4=4,a7=﹣2,a1=1,q3=﹣2或a1=﹣8,q3a1+a10=﹣7故选:D.【点睛】本题考查了数列的基本应用,考查等比数列的性质,熟记性质准确计算是关键,是基础题8.已知二次函数,且函数在区间内的图像与轴恰有一个交点,则不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C略9.已知m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是()A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥nB.若m∥n,n?α,m?α,则m∥αC.若α⊥β,m⊥α,则m∥βD.若m⊥α,n?β,m⊥n,则α⊥β参考答案:B10.已知,则(
)(为自然对数的底数)
A.
B.
1
C.
D.
0参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)=log2(x2﹣3x+2)的单调递减区间是
.参考答案:(﹣∞,1)【考点】复合函数的单调性.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论.【解答】解:由x2﹣3x+2>0,解得x>2或x<1,即函数的定义域为{x|x>2或x<1},设t=x2﹣3x+2,则函数y=log2t为增函数,要求函数f(x)=log2(x2﹣3x+2)的递减区间,根据复合函数单调性之间的关系,即求函数t=x2﹣3x+2的减区间,∵函数t=x2﹣3x+2的减区间为(﹣∞,1),∴函数f(x)=log2(x2﹣3x+2)的单调递减区间是(﹣∞,1),故答案为:(﹣∞,1)【点评】本题主要考查函数单调区间的求解,根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键.12.不查表求值:=
参考答案:略13.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且|MA|=|MB|,则M的坐标是
.参考答案:(0,-1,0)14.数列{an}满足,且对于任意的都有,则an=
,
.参考答案:
∵满足,且对于任意的都有,,
∴,
∴
.∴.
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=﹣x2﹣3x,则不等式f(x﹣1)>﹣x+4的解集是.参考答案:(4,+∞)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】首先,根据函数f(x)是奇函数,求解当x>0时,函数的解析式,然后,分别令x﹣1≤0和x﹣1>0两种情形进行讨论,求解不等式的解集.【解答】解:∵函数f(x)是奇函数,令x>0,则﹣x<0,∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2+3x=﹣x2+3x=﹣f(x),∴f(x)=x2﹣3x,∴,当x﹣1≤0,即x≤1,f(x﹣1)=﹣(x﹣1)2﹣3(x﹣1)=﹣x2﹣x+2,∵f(x﹣1)>﹣x+4,∴x2<﹣2(舍去)当x﹣1>0,即x>1,f(x﹣1)=(x﹣1)2﹣3(x﹣1)=x2﹣5x+4,∵f(x﹣1)>﹣x+4∴x2﹣4x>0∴x<0或x>4,又x>1,∴x>4.故答案为:(4,+∞).16.已知直线l:x+ay﹣1=0(a∈R)是圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴.过点A(﹣4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=.参考答案:6【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),求得a的值,可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值.【解答】解:由圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0得,(x﹣2)2+(y﹣1)2=4,所以C(2,1)为圆心、半径为2,由题意可得,直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),故有2+a﹣1=0,得a=﹣1,则点A(﹣4,﹣1),即|AC|==,所以切线的长|AB|===6,故答案为:6.【点评】本题考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属于基础题.17.设全集U={l,3,5,7,9},集合M={1,a﹣5},M?U且?UM={3,5,7},则实数a=
.参考答案:14【考点】补集及其运算.【分析】根据补集的定义,求出集合M,再计算a的值.【解答】解:由U={1,3,5,7,9},且CUM={3,5,7},所以M={1,9};又M={1,a﹣5},所以a﹣5=9,解得a=14.故答案为:14.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知四棱锥底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2,AB=1,E.F分别是线段AB.BC的中点,(1)证明:PF⊥FD;(2)在PA上找一点G,使得EG∥平面PFD;.(3)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值.参考答案:解:(1)证明:连接AF,则AF=,DF=,又AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD,∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,……………4分(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD且AH=AD.再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP,∴平面EHG∥平面PFD.∴EG∥平面PFD.从而满足AG=AP的点G为所求.………………8分
⑶建立如图所示的空间直角坐标系,因为PA⊥平面ABCD,所以是与平面所成的角.又有已知得,所以,所以.设平面的法向量为,由得,令,解得:.所以.又因为,所以是平面的法向量,易得,所以.由图知,所求二面角的余弦值为.…………12分略19.已知函数:(a∈R且x≠a).(1)若a=1,求f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18)的值;(2)当f(x)的定义域为[a﹣2,a﹣1]时,求f(x)的值域;(3)设函数g(x)=x2﹣|(x﹣a)f(x)|,求g(x)的最小值.参考答案:【考点】函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义.【分析】(1)化简=2,然后求解f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18的值即可.(2)判断,在[a﹣2,a﹣1]上单调递减,通过f(a﹣1)≤f(x)≤f(a﹣2)求解函数的值域即可.(3)化简g(x)=x2﹣|x+1﹣a|(x≠a),通过①当x≥a﹣1且x≠a,时,则函数在[a﹣1,a)和(a,+∞)上单调递增求出最小值.a且a,求解最小值.当时,g(x)最小值不存在.②当x≤a﹣1时,通过a的范围,分别求解函数的最小值.推出结果即可.【解答】解:(1)=2,…f(﹣16)+f(﹣15)+f(﹣14)+…+f(17)+f(18)=35,…(2)证明:,易知f(x)在[a﹣2,a﹣1]上单调递减,…f(a﹣1)≤f(x)≤f(a﹣2),…即,∴.…(3)解:g(x)=x2﹣|x+1﹣a|(x≠a),①当,如果即时,则函数在[a﹣1,a)和(a,+∞)上单调递增…如果,当时,g(x)最小值不存在.…②当,如果,…如果上为减函数,,…当,,…综合得:当a<1且时,g(x)最小值是,当a≥1时,g(x)最小值为,当时,g(x)最小值不存在.…20.(本小题满分13分)一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长米.如图,设菜园与墙平行的边长为米,另一边长为米.(1)求与满足的关系式;(2)求菜园面积的最大值及此时的值.参考答案:(1)由已知,,……5分(2)由(1)有,,则………7分,
……………10分当且仅当,即时等号成立,…12分故当米时,菜园面积最大,最大值为平方米…13分21.如图,在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中,平面ABC//平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AC∥DG.且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
(Ⅰ)求证:四点B、C、F、G共面;
(Ⅱ)求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值;
(Ⅲ)求多面体ABC-DEFG的体积.
参考答案:由AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知,AD、DE、DG两两垂直,建立如图的坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)(1)
∴,即四边形BCGF是平行四边形.故四点B、C、F、G共面.(2),设平面BCGF的法向量为,则,令,则,而平面ADGC的法向量
∴=故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为.(3)设DG的中点为M,连接AM、FM,则====.解法二
(1)设DG的中点为M,连接AM、FM,则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形,所以MF//DE,且MF=DE又∵AB//DE,且AB=DE
∴MF//AB,且MF=AB∴四边形ABMF是平行四边形,即BF//AM,且BF=AM又∵M为DG的中点,DG=2,AC=1,面ABC//面DEFG∴AC//MG,且AC=MG,即四边形ACGM是平行四边形∴GC//AM,且GC=AM故GC//BF,且GC=BF,即四点B、C、F、G共面4分
(2)∵四边形EFGD是直角梯形,AD⊥面DEFG∴DE⊥DG,DE⊥AD,即DE⊥面ADGC,
∵MF//DE,且MF=DE,
∴MF⊥面ADGC在平面ADGC中,过M作MN⊥GC,垂足为N,连接NF
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