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文档简介
第二节
换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结 思考题一、第一类换元法—凑微分法【问题】
cos
2
xdx
=
sin
2
x
+
C
,【解决方法】利用复合函数求导法，设置中间变量，把较 难求的不定积分化为较易求的不定积分。23.【过程】
令
t
=
2
x
dx
=
1
dt,22
2
cos
2
xdx
=
1
cos
t
dt
=
1
sin
t
+
C
=
1
sin
2
x
+
C
.我们称利用中间变量的代换求积分的方法为换元积分法。换元积分法分两类：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法（变量代换法）。复合函数的积分法——换元法设F
(u)=f
(u),则
f
(u)du
=F
(u)+C
.如果
u
=
j
(
x)（可微）
dF[j
(
x)]
=
f
[j
(
x)]j
(
x)dx\
f
[j
(
x)]j
(
x)dx
=
F[j
(
x)]
+
C=
[
f
(u)du]u=j
(
x
)由此可得换元法定理4.【凑微分法方法推导】5.【定理1】
设
f
(u)具有原函数，u
=
j
(
x)可导，
f
[j
(
x)]j
(
x)dx
=
[
f
(u)du]u=j
(
x
)则有换元公式第一类换元公式（凑微分法）将u换为x的可微函数仍然成立，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.【说明】用此公式关键在于将
g(x)dx化为
f
[j(x)]j¢(x)dx.即
g(
x)dx
=
f
[j
(
x)]j¢(
x)dx凑微分
f
[j
(
x)]dj
(
x)
令j
(
x)
=
u
f
(u)du积分
F
(u)+C回代u
=j
(x)F[j
(
x)]
+
C11
+
(
ln
x
)2【实质】将g(x)的积分转化为f
(u)的积分，如能求得f
(u)的原函数，也就得到了g(x)的原函数.［例如］积分是微分的逆过程1
11
+
(
ln
x
)2
2 ln
xd
(arctan ln
x
)=
d
( ln
x
)=d
(ln
x)1
11
+
(
ln
x
)2
2 ln
x=x1
dx【例1】求
sin
2
xdx.【解Ⅰ】2
sin
2
xdx
=
1
sin
2
xd
(2
x)
=
-
1
cos
2
x
+
C;2
sin
2
xdx
=
2
sin
x
cos
xdx=
2
sin
xd
(sin
x)
=
(sin
x
)2
+
C;
sin
2
xdx=
2
sin
x
cos
xdx=
-2
cos
xd
(cos
x)
=
-(cos
x
)2
+
C
.【解Ⅱ】【解Ⅲ】【注】观察重点不同，所得结论不同.见下例6【主要类型】
a
f
(ax
+
b)d
(ax
+
b)(1)
f
(ax
+
b)dx
=
1【例2】求
①
sin
2
xdx;
②
3
1
+
3
xdx;③
(1
+
2
x)10
dx;3
x
+
2;
⑤④
dx
(3
x
+
2)4;
⑥dxa2
-
x2;dx
a2
+
x2.⑦dxu=ax+ba
=
1[
f
(u)du]31
+
3
xdx②d
(1
+
3
x)
==13(1
+
3
x)34(1
+
3
x)
+
C1410③
(1
+
2
x)
dx13=1210(1
+
2
x)
d
(1
+
2
x)(1
+
2
x)11
+
C=2213
x
+
2④
dx1
d
(3
x
+
2)【解】①
sin
2
xdx
（略）3
3
x
+
2=13=
ln
|
3
x
+
2
|
+C⑥
a2
-
x2
a2
+
x2dx
=
1⑦
(3
x
+
2)4⑤3
dx
=
19(3
x
+
2)-4
d
(3
x
+
2)
=
-
1
(3
x
+
2)-3
+
Cadx
=
dx
=
1
1
121
-
(
x
)a21
-
(
a
)ad
(
x
)xa=
arcsin
x
+
C1
+
(xaa)221dx
=
1a
1
+
(1)2xd
(
)axa=
1
arctan
x
+
Ca
a公式公式【例如】求12dx.x
-
8
x
+
25【解】x2
-
8
x
+
25dx
=112d
(
x
-
4)(
x
-
4)
+
9
+
13=
122
1x
-
43
3+
1
3d
(
x
-
4)
=
121
d
x
-
4
x
-
43=
1
arctan
x
-
4
+
C
.3
3可省略，直接套上页公式⑦na(2)
f
(axn
+
b)
xn-1dx
=
1
f
(axn
+
b)d
(axn
+
b)【例3】求①
x
sin(
x2
+
1)dx;②
x2e-
x3
dx;;2
+
x3③
x2dx1
cos
xdx.x④2【解】
①
x
sin(
x
+
1)dx=122
2sin(
x
+
1)d
(
x
+
1)+
1)
+
C12=
-
2
cos(
x+
C②
x2e-
x3
dx
=
-
1
e-
x3
d
(-
x3
)
=
-
1
e-
x33
32
+
x32dx③
x3
=1-1(2
+
x3
)
2
d
(2
+
x3
)
=2
+
x3
+
C23xdx
=
2x④
1
coscos2
x1xdx
=
2cos
xd x
=
2sinx
+
C(3)三角函数型的积分【例4
】求①tan
xdx;②cot
xdx;③sin3
xdx;④sin2
xdx.【解】①
tan
xdx=cos
xsin
xdx
=
-cos
xd
cos
x=
-ln
|
cos
x
|
+C公式公式即
tan
xdx
=
-ln
|
cos
x
|
+C
=
ln
|
sec
x
|
+C类似地②
cot
xdx
=
ln
|
sin
x
|
+C
=
-ln
|
csc
x
|
+C3③
sin3
xdx
=
-
(1
-
cos2
x)d
(cos
x)
=
-
cos
x
+
1
cos3
x
+
C2④
sin
xdx1
-
cos
2
x=dx
=2x
-
sin
2
x
+
C1
12
4降幂法类似可求
cos2
xdx拆开奇次项凑微分dx;1
+
cos
x1①
②
cos
3
x
cos
2
xdx;④
sin2
x
cos5
xdx.③
csc
xdx;【解】【例5】求(1
+
cos
x)(1
-
cos
x)dx
=
1
-
cos
xdx
=
1
-
cos
x
dxsin2
x=
d
(sin
x)
=
-cot
x
+1dx
-sin2
xsin2
x11+
C
.sin
x11
+
cos
x1①Ⅰ.
22cos2
xdx
=
sec2
x
d
(
x
)
=
tan
x+
C2
2
2dx
=
1
+
cos
x1Ⅱ.
降幂法cos
Acos
B
=
1[cos(
A
-
B)
+
cos(
A
+
B)],②
cos
3
x
cos
2
xdx211
1
cos
3
x
cos
2
xdx
=
2
(cos
x
+
cos
5
x)dx
=
2
sin
x
+
10
sin
5
x
+
C
.【说明】化乘除为和式：积化和差—降幂.③Ⅰ.
csc
xdx
=
sin
xdx
=
dxx
x2
22sin
cos1
1
d
x
2
=
2
2
=12tan
x
cos
x
2
x
=
ln
|
tanx
d
tan2tan1|
+Cx2=
ln
|
csc
x
-
cot
x
|
+C
.公式即
csc
xdx
=
ln
|
csc
x
-
cot
x
|
+C
.角不相同Ⅱ.
csc
xdx
=
sin
x1sin2
xdx
=
sin
x
dx
=
-1
-
cos2
xd
(cos
x)1(令u
=cos
x)=
-
1
-
u21
+
du1
+
u
112
1
-
udu
=
-
1=
1
ln
|
1
-
u
|
+C2 1
+
u=
1
ln
|
1
-
cos
x
|
+C
.2 1
+
cos
x类似地
sec
xdx
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+C
.公式④
sin2
x
cos5
xdx
=
sin2
x
cos4
xd
(sin
x)=
sin2
x
(1
-
sin2
x)2
d
(sin
x)=
(sin2
x
-
2sin4
x
+
sin6
x)d
(sin
x)=
1
sin3
x
-
2
sin5
x
+
1
sin7
x
+
C
.3
5
7拆开奇次项凑微分(4)其它类型的积分【例6】求
①
dx;x(1
+
2ln
x)111x+
1②
(1
-
2
)e
xdx;2x4
-
x
arcsin
2dx;
④③dx.xx
(1
+
x)3【解】1
+
2ln
x1d
(1
+
2ln
x)2 1
+
2ln
xd
(ln
x)
=
1
1u
=
1
+
2ln
x=du2
u1
1=
ln
|
u
|
+2121C
=
ln
|
1
+
2ln
x
|
+C
.dx
=
x(1
+
2ln
x)1①
1xx+
1②
(1
-
2
)e
xdx
=
e1x+
1xd
(
x
+124
-
x
arcsin
2xdx
=
③
2x1x+
1)=
e
x
+
C
.xdx
2
2
x
21
-
arcsin22arcsin1xd
(arcsin
x
)
==xln
|
arcsin |
+C
.2xx
+
1
-
11
1④
(1
+
x)3
dx
=
(1
+
x)3
dx
=
[(1
+
x)2
-(1
+
x)3
]d
(1
+
x)211
12(1
+
x)2+
C
+ +
C=
-1
+
x1+
C
.1+1
+
x
2(1
+
x)2=
-(C
=
C1
+
C2
)【例7】求
①12dx;x
-
8
x
+
2511dx;
1
+
ex②dx;
④③.
x2
-
a2dx【解】①2
x
+
3
+
2
x
-
112dxx
-
8
x
+
25（前已讲过.略）1②Ⅰ.
1
+
exdx
=
1
+
e
xdxe
xx1
+
e1
+
e
x
-
e
x
dx
=
1
-e
x=
dx
-
1
+
e
x
dx1
+
e
x1=
dx
-d
(1
+
e
x
)
=
x
-
ln(1
+
ex
)
+
C
.2
x
-
12
x
+
3
+1dx
=
③
(
2
x
+
3
+2
x
+
3
-
2
x
-
1
dx2
x
-
1)(
2
x
+
3
-
2
x
-
1)2
x
-
1dx=
1
42
x
+
3dx
-
1
42
x
-
1d
(2
x
-
1)8
82
x
+
3d
(2
x
+
3)
-
1
=
1
=
1
(
2
x
+
3)3
-
1
(
2
x
-
1)3
+
C
.12
12有理化1x1
+
edx
=②Ⅱ.ex
(1
+
ex
)exdx=x
xe
(1
+
e
)de
x===t(1
+
t
)dtt t
+
1=
(1
-1ex
=
t)dt
=
1
dt
-
d
(t
+
1)
=
ln
t
-
ln(t
+
1)
+
Ct+
11t=
x
-
ln(1
+
ex
)
+
C1
1
+
ex②
Ⅲ.dx
直接令ex
=t指数代换—第二换元法同上【例8】
设f (sin2
x)
=
cos2
x,
求
f
(
x)。【解】
令
u
=
sin2
x
cos2
x
=
1
-
u,f
(u)
=
1
-
u,2f
(u)
=
(1
-
u)du
=
u
-
1
u2
+
C
,2f
(
x)
=
x
-
1
x2
+
C
.④x2
-
a2111-
)=
1
(则(
-2a x
-
a x
+
a1
)dx
=
1
[
d
(
x
-
a)
-=
1
1
2a x
-
a x
+
a
2a x
-
ax
+
ad
(
x
+
a)]2a=
1
(ln
|
x
-
a
|
-ln
|
x
+
a
|)
+
C=
1
ln
|
x
-
a
|
+C2a x
+
a
x2
-
a2dx公式分解为最简分式之和再看教材【例15】
cos4
xdx（降幂）=
(1
+
cos
2
x
)2
dx24=
1
(1
+
2cos
2
x
+
cos2
2
x)dx（继续降幂）4
2=1
(1
+2cos
2
x
+1
+cos
4
x
)dx
凑微分=
(1
+
2tan2
x
+
tan4
x)d
tan
x
=
(展开)(展开)教材【例18】
sec6
xdx
=
(sec2
x)2
sec2
xdx凑微分
(1
+tan2
x)2
d
tan
x二、第二类换元法——变量代换法dx1
-
x2
dx.2
+
x;
②
x51.【引例】
求①
2.【解决方法】改变中间变量的设置方法.［过程］
①令x
=
t
,
则x
=
t
2
,
dx
=
2tdt,dx=
dt
=
22t
2
+
t
-
22
+
x
2
+
t
2
+
t1
-
x2
dx
=
(sin
t
)5
x51
-
sin2
t
cos
tdt=
sin5
t
cos2
tdt=
（应用“凑微分”即可求出结果）x
)
+
C
.x
-
4ln(2
+=
2t
-
4ln
|
2
+
t
|
+C
=
2②
令x
=
sin
t
dx
=
cos
tdt
,dt
=
2
(1
-2
+
t)dt2【证】
设
F
(为t
)
数,f
[y
(的t
)]y原(t函)令F
(x)=F
[y
-1
(x)]dt
dx得
F
¢(
x)
=
dFdt=
f
[y
(t
)]y
(t
)y
¢(t
)13.【变量代换法定理】【定理2】
设x
=y
(t
)单调、可导， 且y
(t
)
„
0又设f
[y
(t
)]y
(t
)具有原函数，则有换元公式
f
(
x)dx
=
[
f
[y
(t
)]y
¢(t
)dt]t
=y
-1
(
x
)由复合函数及反函数求导法则=
f
[y
(t
)]
=
f
(
x).说明F
(x)为f
(x)的原函数,\
f
(
x)dx
=
F
(
x)
+
C
=
F
[y
-1
(
x)]
+
C
,t
=y
-1
(
x
)
f
(
x)dx
=
f
[y
(t
)]y
¢(t
)dt第二类积分换元公式即
f
(
x)dx
y
(t
)
=
x
换元
f
[y
(t
)]y
¢(t
)dt
积分F
(t
)
+
Ct
=ψ
-1(x)回代F
[y
-1
(
x)]
+
C简言之【第一换元法】
g(x)dx
=
f
[j
(x)]j
¢(x)dx
令u
=j
(x)
f
(u)du【第二换元法】
f
(
x)dx
选择y
(t
)
=
x
f
[y
(t
)]y
¢(t
)dt积分之积分之4.【变量代换主要类型】(1)根式代换:t
=n
ax
+b【例9】求①【解】
①
令1
+
x
+
1x
+
132xsin
3
xdx;
②
dx;
③
dx.x(1
+
3
x
)1目的是化掉根式。1
+
x
=
t
x
=
t
2
-
1
,
dx
=
2tdtdx
1
+
x
+
1x
+
12tdt1
+
tt=1
+
tt
2
-
1
+
1=
21dt
=
2
(t
-
1
+
1
+
t
)dt=
t
2
-
2t
+
2ln
|
1
+
t
|
+C
=
(1
+
x)
-
2 1
+
x
+
2ln(1
+1
+
x
)
+
C②
令x
=
t3
x
=
t
3
,
dx
=
3t
2dt3
x2sin
3xdx
=t
2x
+
Csin
t
3t
2dt
=
3
sin
tdt
=
-3cos
t
+
C
=
-3cos
31dx③
令x
=t
6
dx
=
6t
5dt,dxx(1
+
3
x
)1x(1
+
3
x
)=dtt
3
(1
+
t
2
)6t
51
+
t=6t
22
dt
=
6dtt
2
+
1
-
121
+
t
dt21
+
t=
6
1
-1=
6[t
-
arctan
t]
+
C=
6[6
x
-
arctan
6
x]
+
C
.【说明】当被积函数含有两种或两种以上的根式kx，可x
,,时l采用令 （其x中=n为t
n各根指数的最小公倍数）(2)三角代换:目的也是化掉根式。一般规律如下：当被积函数中含有x
=
a
sin
t;x
=
a
tan
t;①
a2
-
x2②
a2
+
x2③
x2
-
a2x
=
a
sec
t
.【例10】求
【解】
令x
=
a
tan
tdx
(a
>
0).1x2
+
a2
dx
=
a
sec2
tdtx2
+
a2dx
=1a
sec2
tdt1
a
sec
t=
sec
tdt
=
ln
|
sec
t
+
tan
t
|
+C1taxx2
+
a21ax2 2
a+
a
+
C
.=
ln
x
+2 2
t
˛
-
p,
p=
ln
|
x
+
x2
+
a2
|
+CC
=
C1
-
ln
a即x2
+
a2dx
=
ln
|
x
+1x2
+a2
|
+C
公式【例11】求
x3【解】令x
=2sin
t4
-
x2
dx.dx
=
2cos
tdtp
p2 2
t
˛
-
,4
-
x2
dx
=
(2sin
t
)3
x34
-
4sin2
t
2cos
tdt=
32
sin3t
cos2
tdt
=
32
sin
t(1
-
cos2t
)cos2
tdt=
-32
(cos2t
-
cos4
t
)d
cos
t1
1=
-32(3
cos
t
-
5
cos
t
)
+
C3
52xt4
-
x2=
-
4
(
4
-
x2
)3
+
1
(
4
-
x2
)5
+
C
.3
5【例12】求【解】1x2
-
a2dx
(a
>
0).dx
=
a
sec
t
tan
tdt令x
=a
sec
t
2
t
˛
0,
p1
dx
=
a
sec
t
tan
tdtx2
-
a2a
tan
t=
sec
t
dt
=
ln
|
sec
t
+
tan
t
|
+C1taxx2
-
a2|
+C1
.x
x2
-
a2=
ln
|
a
+a=
ln
|
x
+
x2
-
a2
|
+C1C
=
C
-
ln
a即x2
-
a2dx
=
ln
|
x
+1x2
-a2
|
+C
公式【说明】(1)
积分中为了化掉二次根式除采用三角代换外还可用双曲代换.cosh2
t
-
sinh2
t
=
1\
x
=
a
sinh
t,
x
=
a
cosh
t也可以化掉根式【例】中d,x令x2
+
a21x
=
a
sinh
tdx
=
a
cosh
tdtx2
+
a21a
cosh
tdx
=
a
cosh
t
dt
=
dt
=
t
+
C+
Cxa=
ar
sinh
+
C
.aax2
+
a2
x=
ln+【例13】求【说明】(2积)分中为了化掉二次根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定(如整个根式代换等)x5dx1
+
x2（三角代换很繁琐）1
+
x2【解】
令t
=
x2
=
t
2
-
1,xdx
=
tdt
,1
+
x2x5tdx
=
(t
2
-
1)2tdt
=
t
4
-
2t
2
+
1dt5
315=
1
t
5
-
2
t
3
+
t
+
C
=
1
(8
-
4
x2
+
3
x4
) 1
+
x2
+
C
.整个根式代换【例14】求【解】令t
=1dx.1
+
e
x1
+
e
x
e
x
=
t
2
-
1,dt,t
2
-
12tdx
=dx1
+
e
x1dtt
-
1=22-
dtt
+
1=1
t
-
11t
+
1=
ln
t
-
1
+
C1
+
e
x
-
1
-
x
+
C
.=
2lnx
=
ln
t
2
-
1
,整个根式代换【例15】求dxx(
x
+
2)17【解Ⅰ】
令
x
=
1
dx
=
-
1
dt,x(
x7
+
2)dx
=1ttt
t
1
+
2
-
7
12t
2dt
=
-t
671
+
2t=
-
1
ln
|
1
+
2t
7
|
+C
=
-
1
ln
|
2
+
x7
|
+
1
ln
|
x
|
+C
.14【解Ⅱ】dt
=
-1
+
2t
71
d
(2t
7
+
1)14(3)倒代换:x
=1t设m、n分别为被积函数的分子、分母关于x
的最高次数，当n–m
>0时，用倒代换可望成功.x(
x7
+
2)dx
=1x
(
x
+
2)7
714
2x6
dx
=
17
77
x
(
x
+
2)dx77令
x
=
t（分母的阶较高）dx.1x4x2
+
1dxx
x
+
1124t【解】
令
x
=
1
dx
=
-
1
dt,t
21t
t
t
=
224
-
1
dt
1
+
1
1t
3=
-21t
2dt
=
-
2
dt1
+
t
2
2
1
+
t2u
=
t1
dt14
14【例16】求14（分母的阶较高）2=
1
ln
|
t
|
-
1
ln
|
t+
2
|
+C
=
1
l
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