2017-2018学年冀教版九年级数学下册全册教案

2017-2018学年冀教版九年级数学

下册全册教案

目录

29.1点与圆的位置关系

29.2直线与圆的位置关系

29.3切线的性质和判定

29.4切线长定理

29.5正多边形和圆

30.1二次函数

30.2第1课时二次函数丫=2*2的图像和性质

30.2第2课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像性质

30.2第3课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

30.3由不共线三点的坐标确定二次函数

30.4第1课时抛物线形问题

30.4第2课时实际问题中二次函数的最值问题

30.4第3课时将二次函数问题转化为一元二次方程问题

30.5二次函数与一元二次方程的关系

31.1确定事件和随机事件

31.2第1课时概率的认识

31.2第2课时概率的简单应用

31.3用频率估计概率

31.4第1课时用列表法求简单事件的概率

31.4第2课时用画树形图求简单事件的概率

32.1投影

32.2第1课时尚单几何体的三视图

32.2第2课时较复杂几何体的三视图

32.2第3课时由三视图还原几何体

32.3直棱柱和圆锥的侧面展开图

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第二十九章直线与圆的位置关系

29.1点与圆的位置关系

i.能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系.

2.学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系.

3.认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆.

一、情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中

靶子不同位置所决定的；如图是一位运动员射击6发子弹在靶上留下的痕迹.你知道这个运

动员的成绩吗？请同学们算一算.(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1

环)

二、合作探究,

探究点L:点和圆的位置关系

［类型一］判断点和圆的位置关系

画BI如图，已知矩形/时的边4?=3cm,AD=\cm.

(1)以点/为圆心，4cm为半径作。4,则点氏C,。与。4的位置关系如何？

(2)若以点1为圆心作。力，使8C,〃三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外,

则的半径r的取值范围是什么？

B----------------------C

解：(1)•."8=3cm<4cm,.•.点8在。力内；；4Q4cm,...点〃在。H上;'：AC=y/32+42

=5cm>4cm,・••点。在。力外.

(2)由题意得，点6一定在圆内，点。一定在圆外..,・3cmV_rV5cm.

［类型二］点和圆的位置关系的应用

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胸❷如图，点。处有一灯塔，警示。。内部为危险区，一洵船误入危险区点。处，该

渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由.

解：渔船应沿着灯塔。过点P的射线0方向航行才能尽快离开危险区.理由如下：设

射线。。交。。与点4过点夕任意作一条弦⑺，连接必，在中，OD-OP<PD,又OD

=OA,：.OA-OP<PD,：.PA<PD,即渔船沿射线CP方向航行才能尽快离开危险区.

探究点二：确定圆的条件

［类型一］经过不在同一直线上的三个点作一个圆

W已知：不在同,一直线上的三个已知点4B,。(如图)，求作：使它经过点4

B,C.

解析：根据线段垂直平分「线上的点到线段两端点的距离相等，作出边48、a'的垂直平

分线相交于点。，以。为圆心，以A4为半径，作出圆即可.

解：(1)连接48、BC-,

(2)分别作出线段48、比的垂直平分线鹿、GF,两垂直平分线相交于点0,则点。就是

所求作的。。的圆心；

(3)以点。为圆心”冗长为半径作圆.则O0就是所求作的圆.

方法总结：线段垂直平分线的作法，需熟练掌握.

.探究点三：三角形的外接圆

［类型一］与圆的内接三角形有关的角的计算

@D如图，△/6C内接于。0,。/%8=20°,则/C的度数是.

解析：由OA=OB,知//QNQ%=20°,所以/4g140°,根据圆周角定理，得

Z<7=1z^=70°.

方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也，可

以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

［类型二］与圆的内接三角形有关线段的计算

画日如图，在中，。是它的外心，比1=24cm,。到宽的距离是5cm,求的

外接圆的半径.

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A

BDC

解:连接OB,过点。作ODVBC,则6W=5cm,BD=^BC=12cm.在Rt/\OBD中,施=加西防

=^/5~+122=13cm.即△/回的外接圆的半径为13cm.

方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等，于OB,过点。作ODLBC,易得8ZH12cm一

由此可求它的外接.圆的半径.

三、板书设计

।判断点与圆的位萩/二角形的外接圆）

点和圆的位置关系

।确定一的条件♦内接三角形

—个的苔芙计算

凝懿恩

教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂

直平分线的交点.在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.

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29.2直线与圆的位量关系

卷司国添

1.了解直线和圆的不同位置关系.

2.了解直线与圆的不同位置送系时的有关概念.

3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.

一、情境导入

你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会

出现几种位置关系呢？如图二者是什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：直线与圆的位置关系

［类型—］根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系

@D已知。。的半径为5,点P在直线，上，且。三5,直线/与。。的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.相切或相交

解析：我们考虑圆心到直线/的距离，如果距离大于半径，则直线/与。。的位置关系

是相离；若距离等于半径，则直线,与。。相切；若距离小于半径，则直线,与。。相交.分

两种情况讨论：⑴伊，直线/,则圆心到直线/的距离为5,此时直线,与。。相切.⑵

若“与直线/不垂直，则圆心到直线的距离小于5,此时直线/与。。相交.所以本题选

D.

方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离”所以要判断直线

与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离.

厕❷△48C中，43=10cm,&?=8cm,6c=6cm,以点6为圆心、6cm为半径作。8,则

边/C所在的直线与的位置关系是.

解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断.本题根据勾股定理的逆定理可

知△/优■是直角三角形，AC,6c是直角边，则圆心8到直线/C的距离是6cm,等于。8的半

径，所以47所在的直线与。6相切.

方法总结:根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是解

题的关键.

［类型二］坐标系内直线与圆的位置关系的应用

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颐1如图，在平面直角坐标系中，。｛与y轴相切于原点。，平行于小轴的直线交

于跳N两点.若点"的坐标是（一4,—2）,则点A'的坐标为（）

A.(-1,-2)B.(1,2)

解析：过点4作附小物,于。，连接/此设半径为r,由垂径定理有附=AQ所以4g

2,4A三_r,,愤=4-r,利用勾股定理可以求出Ae=l.5,所以N点,坐标为（-1,一2）.故选

方法总。结：在圆中如果有弦要求线段的长度，通常要将经过圆心的半径画出，利用垂

径定理和勾股定理解决问题.

［类型三］由直线和圆的位置关系确定圆心到直线的距离

圆U已知圆的半径等于5,直线？与圆没有交点，则.

圆心到直线1的距离d的取值范围是.

解析：因为直线/与圆没有交点，所以直线/与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆

「的半径，即d>5.

【.类型四］由直线和圆的位置关系确定圆的半径

n直线/与半径为r的。。相交，且点。到直线1的距离为8,则r的取值范围是

解析：因为直线/与半径为r的。。相交，所以dVr,即8Vr,所以填r>8.

三、板书设计

敬卷感恩

教学过程中，强调学生从实际生活中感受，体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言

来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程.

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29.3切线的性质和判定

卷司国添

1.掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明（重

点）；

2.掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算”与证明（重点，难

点）；

3.能运用直线与圆的位置关系解决实。际问题.

教尊犍

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计

一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

二、合作探究

探究点一：切线的性质

［类型一］切线’的性质的运用

画U如图，点。是NBAC的边AC上的一点，。。与边AB相切于点。，与线段AO

相交于点E,若点P是。O上一点，且/EPO=35°,则/B4C的度数为（）

解析：连接。。，与边AB相切于点。，：.OD±AD,：.^ADO=90°：：Z.EPD

=35°,NEOr>=2NEPD=70°,NBAC=90°—NEOO=2（T.故选A.

方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理.解题时要注意运用切线的性质，注

意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想.

［类型二］利用切线的性质进行证明和计算

酗如图，雨为。。的切线，A为切点.直线P。与。。交于8、C两点，NP=30°,

连接AO、AB.AC.

（1）求证：

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(2)若4人=小，求。。的半径.

(1)证明：：雨为。。的切线，A为切点，.•./OAP=90°.又•.•/尸=30°,二/AOB

=60°,又OA=OB,.♦.△AOB为等边三角形.：.AB=AO,NABO=60°.又：BC为。0

的直径，.,./BAC=90°.在aACB和△APO中，NBAC=NOAP,AB=AO,ZABO^ZAOB,

：.ZXACB丝△APO；

(2)解：在RtZXAOP中，ZP=30°,AP=小,，AO=1,即£)0的半推为1.

方法总结：能用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化

已知条件，构造出等量关系求解.

［类型三］探究圆的切线的条件

画❸如图，。。是△ABC的外接圆，AB=AC=10,BC=12,P是团上的一个动点，

过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.

(1)当点P在什么位置时，。尸是。。的切线？请说明理由；

(2)当DP为。。的切线时，求线段BP的长.

解析：(1)当点P是於的中点时，得丽4=陷，得出PA是。。的直径，再利用DP//BC,

得出。P_LB4,问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，

在RtAABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长.

解：(1)当点P是病的中点时，OP是。。的切线.理由如下：：AB=AC,.•.彘=念,

又：港=沔，，取=曲，，勿是。。的直径.：而=正，N1=N2,又：A8=4C,

：.PArBC.^'：DP//BC,：.DPLPA,OP是。。的切线.

(2)连接0B,设融交BC于点E.由垂径定理，得BE=)C=6.在Rt/\ABE中，由勾股

定理，得.设。。的半径为r,则OE=8—r,在RtZ\08E中，由勾「股定

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理，得J=6"+(8—r)2,解得r=亍.在RtAABP中，AP=2r=±^,AB=10,:・BP=

夸)Jo?苦.

方法总结:判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，

合理转化已知条件，得出结论.

探究点二：切线的判定

［类型一］判定圆的切线

ISD如图，点。在。O的直径AB的延长线上，点C在。O上，AC^CD,/。=30°,

求证：CQ是。。的切线.

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证明：连接。C,'：AC=CD,Z£>=30°,：.ZA=ZD=30°：：OA=OC,AZ2=ZA

=30°,AZ1=60°,：.ZOCD=90°,J.OCLCD,...CD是。。的切线.

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线

是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于

这条半径的直线是圆的切线.

［类型二］切线的性质与判定的综合应用

施时如图，AB是。。的直径，点、F、C是。。上的两点，且经=忿=a，连接KC、

AF,过点C作COL4尸交AF的延长线于点。，垂足为D

(1)求证：CQ是。。的切线；

(2)若CD=2小,求。。的半径.

分析：(1)连接OC,由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得NACQ=N8,

再根据等量代换得到ZACO+/AC£)=90°,从而证明C。是。。的切线；(2)由前=FC=CB

推得/D4c=NBAC=30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即

可求得AB的长，进而求得(DO的半径.

(1)证明：连接OC,BC.,：FC=CB,：.ADAC=ZBAC：：CDLAF,：.ZADC=9Qa.

:AB是直径，/.ZACB-900.ZACD^ZB.VBO^OC,：.NOCB=NOBC,"：ZACO

+ZOCB=90°,ZOCB=ZOBC,ZACD=ZABC,：.ZACO+ZACD=90°，即OC_LCD

又：OC是。。的半径，...CD是。。的切线；

(2)ft$：'：AF=FC^CB,：.ZDAC^ZBAC^30°.'：CD±AF,CD=2®；.AC=4p

在RtZ\ABC中.，NB4C=30°,AC=44,BC=4,AB=8,二。。的半径为4.

方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角

三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长.

三、板书设计

1.切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

薮懿恩

教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个

逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更

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全面的掌握知识.

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29.4切线长定理

卷司国添

1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.

2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建

筑方案.、

二、合作探究

探究点一：切线长定理

［类型—］利用切线长定理求三角形的周长

@D如图，PA,阳分别与。。相切于点点B,的切线跖分别交融、引于点£F,

解析：因为必、外分别与。。相切于点/、B,所以PA=PB,因为。。的切线夕7分别交

PA、%于点反F,切点为C,所以CF=BF,而丫入丛PEF的淤KPE+EF+PF=PE+

EC+CF+PF=(PE+EO+(CF+PR=必+阳=2+2=4.

［类型二］利用切线长定理求角的大小

n如图，PA、阳是。0的切线，切点分别为从B,点C在。。上，如果//370°,

那么/的的度数是度.

解析：如图所示，连接力、OBJ：PA、%是。（9的切线，切点分别为力、B,：.OA±PA,

OB'PB,:.NOAP=/OBP=9Q°.又：/=2N4"=140°,二//阳=360°-APAO-

NA0B—N0BP=36G°-90°-140°-90°=40°.又易证△尸6MgZX/W,N如=^24%

=20°.故答案为20.

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方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根据

全等的判定，可得到P0平分4APB.

［类型三］切线长定理的实际应用

n为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面

上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图.所示的方法得到相关数据”进「而可

求得铁环的半径.若测得必=5cm,则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的.

PA

解：过。作O4U/8于。，设。铁环的圆心为0,连接OAOA.,：AP.为。。的切线，，

4。为/必0的平分线，即NRIUN》。.又/班C=60°,/处什/Q!什/胡C=180°,

胡。=/。1。=60°.在Rt△的中，PA=5,ZPOA=-30°,：.OP=5y［5(cm),即铁环的

半径为5mcm.

探究点二：三角形的内切圆

［类型一］求三角形的内切圆的半径

血。如图，。。是边长为2的等边的内切圆，则00的半径为________.

解析：如图，连接。〃由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点.所以

ZOCD=30°,ODS-BC,所以CD=匕BC,%=2即.又由仅7=2,则以=1.在Rt△欧中，根

据勾股定理得以+切,=纪，所以0+『=(2①)；，所以勿=建.即。0的半径为要.

JO

方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边

的距离相等.

［类型二］求三角形的周长

W如图，Rt△/比1的内切圆。。与两直角边/氏式'分别相切于点〃、E,过劣弧应'(不

包括端点以9上任一点尸作。。的切线.，协'与4员分别交于点M1若。〃的半径为r,

则Rt△劭郎的周长为()

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A.rB.-rC.2rD.5T

A

解析：连接如，OE,是RtZUSC的内切圆，：.OD工AB,OE1BC.又：监，步都是

的切线，且〃、一是切点，:.MAMP,同理可得心=力耳...隰△网=跖9+BN+NM=MB+BN

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+NP+P；lf=MD+BN+NE=BD+BE=2r,故选C.

三、板书设计

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题.明确三角形内切圆的圆心

是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.

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29.5正多边形和圆

卷闰国添

1.了解正多边形与圆的有关概念；

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和

圆的有关知识画正多边形.(重点)

教暮靖

一、情境导入

生日宴。会上，佳乐等6位同学一起过生旧，他想杷如图斯示蛋糕平均分成6份，你能

帮他做到。吗？

二、合作探究

探究点一：圆的内接正多边形的相关计算

(SU如图，有一个圆。和两个正六边形方，4a的6个顶点都在圆周，上，心的6条

边都和圆。相切.

e

(1)设T”4的边长分别为“，b,圆。的半径为r,求r：〃及r：力的值；

(2)求正六边形T|,"的面积比Si：S2的值.

解：(1)连接圆心。和刀的6个顶点可得6个全等的正三角形.所以，•：a=l：1.连接

圆心。和心相邻的两个顶点，得以圆O的半径为高的正三角形，所以r：8=小：2；

(2)正六边形7］与72的边长比是小：2,所以&：$2=3:4„

方法总结：解答此题的关键是根据题意画，出图形，再由三角函数的定义及特殊角的三角

函数值求解.

探究点二：与正多边形相关的计算

［类型—］求正多边形的中心角.

n已知一个正多边形的每个内角均为108°,则它的中心角为度.

解析：每个内南为108°,则每个外角为72°.根据多边形的外角和等于360°..正多

边形的边数为5,则其中心角为360°+5=72°.故填72.

方法总结：本题考查。了正多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和

除以每一个外角的度数求边数更简便.

［类型二】求正多边形的边长和面积

已知正六边形ABSEF的外接圆半径是R,求正六边形的边长”和面积S

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1801

解：连接。A、OB,过。作OH_L48,则NAO”=-^=30°,：.AH=^R：.a=2AH.

oZfr

=/?.由勾股定理可得OH2=R2—&R)2,：.OH=^R,；.S=g.a・OH乂6.=3.R.当R.6

方法总结：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于

半径.

三、板书设计

教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多

边形的问题.

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第三十章二次函数

30.1二次函数

售司醐

i.理解、掌握二次函数的概念和一般形式；（重点）

2.会利用二次函数的概念解决晌题；（重点）

3.列二次函数表达式解决实际问题.（难点）

教尊犍

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6m,窗户面积为ym，窗户宽为xm,你能写出y与x之间

的函数关系式吗？它是L•什么函数呢？

n

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

［类型一］二次函数的识别

碰I下列函数中是二次函数的有（）

①y=x+1；②y=3（x—1）?+2；③y=（x+3/—2?；④y=$+x.

A.4个B.3个C.2个D.1个

解析：①/=%+:，@y=p+x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y=3（x—1尸

+2,符合二次函数的定义；③y=（x+3）2—2?=—必+6］+9,符合二次函数的定义.故选

C.

方法总结:判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式;

②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系

式中二次项系数不等于0.

［类型二］利用二次函数的概念求字母的值

画。.当A为何值时，函数y=（4一1）工好+/+1为二次函数？

解析：根据二次函数的概念，可得然+后=2且同时满足即可解答.

,优+&=2,伏=1或一2,

解：・・•函数y=（A—DXF+Z+I为二次函数，J解得‘jI

［攵-1W0,［21,

:・k=12.

方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x的指数等于2；二是二次项系数不等于0.

「【类型三］二次函数相关量的计算

圆❸已知二次函数y=-/+版+3,当x=2时，y=3.则x=l时，y=.

解析：•・•二次函数），=一产+饭+3,当x=2时，y=3,A3=-22+2^+3,解得b=2.

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.•.这个二次函数的表达式是)，=-f+2x+3.将x=l代入得)，=4.故答案为4.

方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值.

[类型四]二次函数与一次函数的关系

画EJ已知函数y—(nr-nijx1+(TM-1)x+1.

(1)若这个函数是一次函数，求机的值；

(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

解析：根据二次函数与一次函数的定义解答.

解：(1)根据一次函数的定义,得m2—m=0,解得m—0或1.又1W0,即

当加=0时，这个函数是一次函数；

(2)根据二次函数的定义，得〃?#(),解得或帆片1,.•.当,wW0或机W1时，

这个函数是二次函数.

方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等

于零.

探究点二：从实际问题中抽象出二次函数廨析式

[类型—]从几何图形中抽象出二次函数解析式

墙

DC

菜园

A-------------------------B

n如图，用一段长为so米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园

ABCD,设4B边长为x米，则菜园的面积y(单位：米方与武单位：米)的函数关系式为多少？

解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC=g(30-x),然后根据矩形的面积公式即

可求出函数关系式.

解：边长为x米，而菜园A8CD是矩形菜园，.,.BC=g(30—x),...菜园的面积=

ABXBC—^(30—x)-x,则菜园的面积y与x的函数关系式为y=—；f+15x.

方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化.有些题目是以几何

知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式.

[类型二]从生活实际中抽象出二次函数解析式

H某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能

生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且IWXWIO),求出y

关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.

解析：(1)每件的利润为6+2。-1),生产件数为95—5。―1),则>=[6+2。-1)][95—

(2)由题意可令y=1120,求出x的实际值即可.

解：(I)：•第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利

润力口2元，但一天产量减少5件，.•.第x档次.，提高的档次是。-1)档，利润增加了2。一

1)元./.7=[6+2(%-1)][95-5(%-1)],即>=-10小+180工+400(其中x是正整数°,且

(2)由题意可得一10小+i80x+400=1120,整理得/-18X+72=0,解得/1=6,e=12(舍

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去）.

所以，该产品的质量档次为第6档.

方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型.

三、板书设计

二次函数

1.二次函数的概念

2.从实际问题中抽象出二次函数解析式

歙暮殿思

二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关

系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研

究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单

的实际问题中二次函数的解析式.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学

习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、

研究变量之间变化规律的意义.

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30.2二次函数的图像和性质

第1课时二次函数y=ax2的图像和性质

1.会用描点法画出y=aV的图像，理解抛物线的概念.

2.掌握形如/=2/的二次函数图像和性质，并会应用.

跳卷嵋

一、情境导入

自由落体公式方为常量），/?与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像

是什么形状呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数尸af的图像

［类型—］图像的识别

颈1已知aWO,在同一直角坐标系中，函数夕=/与的图像有可能是（）

解析：本题进行分类讨论：（1）当a>0时，函数的图像开口向上，函数y=ax

图像经过一、三象限，故排除选项B;（2）当aVO时，函数的图像开口向下，函数

K=ax图像经过二、四象限，故排除选项D：又因为在同一直角坐标系中，函数y=ax与y

的图像必有除原点（0,0）以外的交点，故选择C.

方法总结：分a>0与aVO两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”.

［类型二］实际问题中图像的识别

解析：根据力关于方的函数关系式为力=ggd,其中g为正常数，e为时间，因此函数力

图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.

方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义.

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探究点二：二次函数y=af的性质

［类型—］利用图像判断二次函数的增减性

圆❸作出函数尸一f的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：

(1)在y轴左侧图像上任取两点4(为，yi),6(如㈤，使用〈为<0,试比较%与度的大

小；

(2)在y轴右侧图像上任取两点以孙珀，Dj必)，使质>两>0,试比较％与K的

大小；

⑶由⑴、(2)你能得出什么结论?

解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法.

解：(1)图像如图所示，由图像可知%>%，(2)由图像可知必<%；(3)在y轴左侧，y

随x的增大而增大，在y轴右侧，y随/的增大而减小.

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物

线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误.

［类型二］二次函数的图像与性质的综合题

@D已知函数尸(加+3)痴+3®-2是关于x的二次函数.

(1)求m的值；

(2)当加为何值时，该「函数图像的开口向下？

(3)当卬为何值时，该函数有最小值？

(4)试说明函数的增减性.

\nt+3m-2=2,

解析：(1)由二次函数的定义可得故可求卬的值.

［加+3W0,

(2)图像的开口向下，则w+3V0；

(3)函数有最小值，则见+3>0;

(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定.

以/+3加-2=2,=—4,施=1,

解：(1).根据题意，得,解得二当卬=-4或必=1时,

+3W0,工一3.

原函数为二次函数.

(2),图像开口向下，.•.，+3V0,.,.“一3,...皿=—4....当卬=—4时,该函数图像的

开口向下.

(3)：函数有最小值，，卬+3。>0,R>一3,...)=1,...当勿=1时，原函数有最小值.

(4)当加=—4时，此函数为y=-V,开口向下，对称轴为y轴，当xVO时，y随x的

增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.

当勿=1时，此函数为尸4/，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而

减小；当x>0时，了随x的增大而增大.

方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时

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纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值.考虑二次函数

的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察.

探究点三：确定二次函数尸af的表达式

［类型一］利用图像确定尸af的解析式

酶一个二次函数y=af(aW0)的图像经过点4(2,—2)关于坐标轴的对称点6,求

其关系式.

解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点4(2,-2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是

两个点.点4(2,—2)关于x轴的对称点5(2,2),点4(2,-2)关于y轴的对称点8(—2,

—2).

解：•.•点6与点4(2,一2)关于坐标轴对称，.•.1(2,2),与(一2,-2).当尸a/的

图像经过点8(2,2)时，2=aX2°,"弓，.，=%；当y=af的图像经过点笈(一2,—

2)时，-2=aX(―2”，.•.a=一；,"=一%..,.二次函数的关系式为尸%或y=一

方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，

从而求得多个答案.

［类型二］二次函数F=af的图像与几何图形的综合应用

画EI已知二次函数尸a/gWO)与直线尸2x—3相交于点4(1,垃,求：

(Da,6的值;

(2)函数尸af的图像的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点6的坐标.

解析：直线与函数尸af的图像交点坐标可利用方程求解.

解：(IL.•点4(1,6)是直线与函数尸af图像的交点，，点4的坐标满足二次函数和

b=aX1",Ja=—1,

直线的关系式,6=2Xl-3,"U=-l.

(2)由(1)知二次函数为尸一V,顶点水即坐标原点)的坐标为(0,0),由一V=2x—3,

解得%=1,热=-3,-%=-9,...直线与抛物线的另一个交点8的坐标为(一3,

-9).

［类型三］二次函数二的实际应用

@8如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离〃〃为3m,跨度48=6m.

(1)请”你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；

(2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2nl且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥

洞，则这些木板最高可堆放多少米？

解析：可令。为坐标原点，平行于46的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此

抛物线函数关

系式为尸af.由题意可得6点的坐标为(3,-3),由此可求出抛物线的函数关系式，

然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.

解：(1)以。点为坐标原点，平行于线段48的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐

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标系，设抛物线的函数关系式为尸af.由题意可得少点坐标为（3,-3）,.---3=^X32,

解得a=-J,.•.抛物线的函数关系式为尸一白.

oO

111O

（2）当矛=1时，尸一三X•〃犷=3,・••木板最高可堆放3一鼻=鼻（米）.

OoOO

方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决

实际问题的思想.

三、板书设计

教艘恩

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数v=a*的图像与性质，

体会数学建模的数形结合的思想方法.

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第2课时二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质

卷司国添

1.会用描点法画出y=a(x一方尸和尸a(x—而本+4的图像.

2.掌握形如y=a(x—加2和y=a(x-77)2+4二次函数图像的性质，并会应用.

3.理解二次函数y=a(x—力产及y=a(x—力尸+A与尸之间的联系.

跳卷嵋

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的

排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过.从如图所示的直角坐标系

中，你能得到函数图像解析式吗？

.V

--4-►

二'合作探究

探究点一：二次函数尸a(x一方>的图。像和性质

［类型一］y=a(X一分尸的图像与性质的识别

圆11已知抛物线尸a(x—而"aWO)的顶点坐标是(-2,0),且图像经过点(一4,2),

求■a,h的值.

解：•••抛物线尸a(x—力(WO)的顶点坐标为(一2,0),；"=—2.又1•抛物线y=a(x

+2产经过点(一4,2),(-4+2)。a=2,.•.@=称

方法总结：抛物线尸a(x—/?)2的顶点坐标为(力，0),对称轴是直线*=力.

［类型二］二次函数j=a(x-/M增减性的判断

厕❷对于二次函数尸9(犬一1)2,下列结论正确的是()

A.y随x的增大而增大

B.当x>0时、y随x的增大而增大

C.当心>一1时，y随x的增大而增大

D.当无>1时，y随x的增大而增大

解析：由于a=9>0,抛物线开口向上，而方=1,所以当M>1时，y随才的增大而增

大.故选D.

［类型三］确定y=a(x—力)之与？=①/的匚关系

胸❸能否向左或向右平移函数y=—T/的图像，使得到的新的图像过点(—9,-8)?

若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说期理由.

解：能。，设平移后的函数为尸一生一犷，将*=-9,尸一8代入得一8=一白一9

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-A)2,所以力=-5或4=—13,所以平移后的函数为y=—/X+5)2或y=—*X+13)2.即

抛物线的顶点为(-5,0)或(一13,0),所以向左平移5或13个单位.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移入个单位后，a