2017-2018学年高中数学选修4-1全一册学案人教A版

2017^2018学年人教A版高中数学选修4-1

全册学案汇编

目录

第一讲相似三角形的判定及有关性质..................1

-平行线等分线段定理............................1

-行线分线段成比例定理.........................10

三.相似三角形的判定1.............................................20

四.相似三角形的性质2.............................................28

五角三角形的射影定理...........................37

六本讲高考热点解读与高频考点例析..............44

第二讲直线与园的位置关系.........................48

-圆周角定理...................................48

二圆内接四边形的性质与判定定理................57

三圆的切线的性质及判定定理.....................67

四弦切角的性质.................................79

五与圆有关的比例线段...........................88

六本讲高考热点解读与高频考点例析..............98

第三讲圆锥曲线性质的探讨........................103

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案

第一讲相似三角形的判定及有关性质

一平行线等分线段定理

1.平行线等分线段定理

(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相

等.

(2)用符号语言表述：

已知a〃6〃c,直线0,/?分别与a,b,c交于点4B,C和力,，B',

C(如图)，如果AB=BC,那么4=B'C.

(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条

或三条以上的平行线组成的.

(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等.

2.平行线等分线段定理的推论

(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必至分第三边.

(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另二腰」

推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题.

平行线等分线段定理

如图，已知直线lx//lz//h//h,1,1'分别交12,h,hiJ

于4B,C,〃和4,B\,G,D\,AB=BC=CD.-

By_____

求证：A\B\-B\C\—C\D\.[

直接利用平行线等分线段定理即可.D\；

:直线人〃心〃[3,JLAB^BC,:"瓜=BC.I\

•.•直线，2〃/3〃4，宜BC=CD,:.RC、=C\R,

/•A\B\—B\C\—C\D\.

[方法•规律•小结]

平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对

应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明.

1

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〃〃〃网检集钝〃〃〃

1.如图，AB//CD//EF,且AgOADF,OE=6,则应1等于（）

A.9B.10C.11D.12

解析：选A过。作一直线与4氏CD,加■平行,

因为Ag08DF,

由平行线等分线段定理知，BO=OC=CE,

又OE=6,所以a'=9.

2.如图，已知。/版的对角线/G切交于点。，过点4B,C,

D,。分别作直线a的垂线，垂足分别为/,夕，U.

求证：A'D'=B'C.

证明：：口应?①的对角线/C,加交于。点，

：.OA=OC,OB=OD.

'：AA'_La,00'J_a,CCLa,：.AA'//00'//CC.

：.O'A'=0'C.

同理，O'D'=0'B'.：.A'D'=B'C.

平行线等分线段定理推论1的运用

如图，在△4%中，AD,跖为中线，A1),毋,交于点G,龙〃所交力，的延长线于点笈

求证：AG=2DE.

AF=FC,6F/词f|4G=6£|f|△劭62△烟f|/G=2阑

2

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在中，

'：AF=FC,GF//EC,

：.AG=GE.

'：CE//FB,

：.AGBD=AECD,£BGD=£E.

又BD^DC,

:.△BDG&XCDE.

故DG=DE,即GE=2DE,

：.AG=2DE.

［方法•规律•小结］

此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相

等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果.

〃〃,，题做集^/////

3.如图，在。4宛9中，对角线〃；物相交于点0,宦平行于4?交相于

E,加=6,求应1的长.

解：因为四边形4?5是平行四边形，

所以以=04BC=AD.

因为AB〃DC,OE"AB,

所以DC//0E//AB.

因为4〃=6,

…11

所以BE=EC=~BC=~AD=3.

4.己知：在比'中，4〃是a'边上的中线，£是/〃的中点，回的延长线交于点

求证：AF=}:AC.

O

证明：如图，过〃作的〃跖交/C于点G.

在△比7;'中，。是a1的中点，

DG//BF,

.•.C为〃"的中点，ERCG^GF.

在。中，£是/〃的中点，

EF//DG,

3

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・・・/是力G的中点，即

1

：.AF=~AC.

O

平行线等分线段定理推论2的运用

如图，已知梯形47切中，AD//BC,//a'=90°,材是制的中点.

求证：AM—BM.

解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件.

过点M作ME”BC交46于点£

'：AD//BC,：.AD//EM//BC.

又：财是喜的中点，

.•"是4?的中点.

•.•/胸=90°,

.二她垂直平分AB.

；.4W=BM.

［方法•规律•小结］

有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本

图形，进而进行几何证明或计算.

/〃〃，题俶集^7////

5.若将本例中“M是切的中点"与互换，那么结论是否成立？若成立，请

给予证明.

解：结论成立.证明如下:

过点材作/监工4?于点E,

,JAD//BC,/极=90°,

：.ADLAB,BCLAB.

BC

4

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'：MELAB,

：.ME//BC//AD.

'：AM=BM,且，侬L/6,

为4?的中点，

工材为5的中点.

6.如图所示，E,尸是。465的边和，比上的点，过46的中点"作腑〃阳分别交凯

CD于点、P,N,MJEP=^,CD=2=2=2=2.

答案：EFDNNCAMMB

课时跟踪检测（一）

一、选择题

1.在梯形ABCD中，M,N分别是腰与腰切的中点，且AD=2,BC=\,则楸.等于（）

A.2.5B.3C.3.5D.不确定

解析：选B由梯形中位线定理知选B.

2.如图，49是△47。的高，《为4?的中点，EFLBC千F,如果比=!即,那么R7是

<3

跖的（）

A.£倍B.2倍C.倍D.£倍

解析：选A'JEFLBC,ADLBC,

：.EF//AD.

又£为47的中点，由推论1知尸为协的中点，

即BF=FD.

又DC=\BD,

2

：.DC=-BF.

•j

5

・・・FC=FD+DC=BF+DC.BE

3.梯形的中位线长为15cm,一条对角线把中位线分成3：2两段，那么梯形的两底长

5

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分别为（）

A.12cm18cmB.20cm10cm

C.14cm16cmD.6cm9cm

A___________n

解析：选A如图，设物P：月—2：3,贝I1仍=6cm,以V-9cm.I八

为梯形46（笫的中位线，在△胡〃中，切为其中位线，M/~\v

：.AD^2MP^\2cm.J/

同理可得比'=2/W=18cm.

4.梯形的一腰长为10cm,该腰和底边所形成的角为30。，中位线长为12cm,则此

梯形的面积为（）

A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2

解析：选D如图，过/作/£J_a；在应■中，.八

AE=ABsin30°=5cm.\

又已知梯形的中位线长为12cm,BE-

."。+%'=2X12=24（cm）.

二梯形的面积S=；("+6。•/«=；X5X24=60(cm2).

二、填空题

5.如图，在两旁作48〃①且4?=必，4,4为4?的两个三等分点，G,&为CD

的两个三等分点，连接4C,4G,BQ,则把力〃分成四条线段的长度（填“相等”

或"不相等”）.

AAiA2B

CCIC2D

解析：如图，过力作直线4"平行于4C,过〃作直线ZW平行于久£_为?…p

BG,由ABHCD,4,4为的两个三等分点，G,G为切的两个三//X//

等分点，可得四边形4CG4,四边形4GC8为平行四边形，所以/CC,C2D

//AICJ/CIB,所以AM"A\CHA£、HQBHDN,因为44=44=45=CG=GG=GO,由平行线

等分线段定理知，4C,A2Q,6c把助分成四条线段的长度相等.

答案：相等

6.如图，在△力回中，£是16的中点，EF//BD,EG"AC交BD千G,CD^AD,若EG=

2cm,贝；若劭=]0cm,则用=.

A

B

6

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解析：由£是血的中点，EF//BD,得/为/〃的中点.

由皮〃47,得反cm,

人人1

结口CD^^AD,

可以得到我，。是4C的三等分点，

则AC=3EG=6cm.

由EF"BD,得EF=fg5cm.

答案：6cm5cm

7.如图，AB=AC,AD1BC于点、〃物是力〃的中点，交力〃于点P,DN〃CP.若AB=6ce,

则AP=；若PM=\cm,则PC=.

解析：ISADLBCAB=AC,为BD=CD,

又ZW〃CK

:・BN=NP,

又AM=MD,PM//DNf知AP=PN,

/.AP=}:AB=2cm.

o

日“11万

易知DN=-PQ

:.PC=4PM=4cm.

答案：2cm4cm

三、解答题

8.已知△四。中，〃是四的中点，£是8c的三等分点（应＞弱，AE,CD交于点F.

求证：尸是09的中点.

证明：如图，

过〃作〃G〃四交6c于G,

在△力断中，、：AD=BD,DG〃AE,

：.BG=GE.

,"是比的三等分点，

：.BG=GE=EC,

7

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在中，'：GE=CE,DG//EF,

:.DF=CF,

即F是曲的中点.

9.如图，在等腰梯形中，AB//CD,42=12cm,/C交梯形中位线EG

于点、F,若EF=4cm,7^=10cm.求此梯形的面积.

解：作高〃伉CN,

则四边形〃柄。为矩形.

:%是梯形48位的中位线，

：.EG//DC//AB.

.•.尸是/C的中点.

:.DC=2EF=8,AB=2FG=20,

MN=DC=8.

在和RtZ\60y中，

AD=BC,ADAM=ZCBN,AAMD=£BNC,

.•.4井=陇=320—8)=6.

■・・疗一4寸=^/122-62=673.

••・5悌形=%・〃犷=14义6，5=84，5(cm2).

睡图提班圈

10.已知：梯形49a9中，AD//BC,四边形丝庞、是平行四边形，AD

的延长线交ECTF.

求证：EF—FC.

证明：法一：如图，连接跖交/厂于点Q

•••四边形］麻是平行四边形，

：.BO^OE.

又•：AF"BC,

:.EF=FC.

法二：如图，

延长劭交和于点H.

•••四边形45:必是平行四边形,

：.AB//ED,AB//DH,

AB=ED.

又,：AF//BC,

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・・・四边形力物是平行四边形.

：.AB=DH.

：.ED=DIL

：.EF=FC

法三：如图，延长必交⑦的延长线于点M

,/四边形力反应是平行四边形，

：.BD//EA,AE=BD.

丈：AD"BC.

・••四边形⑷侬是平行四边形.

：.AM=BD.

：.AM=AE.

:・EF=FC.

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二行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理

(D文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

(2)图形语言：

ABBCABACBCAC

变式有：万=9刀干凉

“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线

截得的线段成对应线段，如图中18和%1；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条

线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理的推论

(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段

成比例.

(2)图形语言：如图11〃心〃，3,

ADAEADAEDBCE

川有：lir^d砺=记lir^c

3.平行线分线段成比例定理的作用

平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比

例.另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线

段的比，来得出正确结论.合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转

换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系.

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从复杂的图形中找出基本图形

已知：如图在梯形46（力中，AD//BC,尸为对角线然上一点，FE//BC交.AB干点、E,

以的延长线交比1于点H,如■的延长线交⑦的延长线于点G.

求证：BC=GII.

可找出两个基本图形：AABC和ADHG,既是这两个图形的截线.

'：FE//BC,

.竺_变笆一些

',科而~Gir~DII

.竺—竺

'：AD//EF//BH,''~AiT~DH

.EF_EF

"'BfT'GH：.BC=GH.

［方法•规律•小结］

在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本

图形，“借图解题”.

〃〃//网像集训〃〃〃

1.已知：如图所示，1J/Iz//lz,%=4求证：77'=-^—.

BCnDFm+n

证明：•:卜"卜"h,

.ABDEm

EFnC\EF+DEn+/n

，石尸一，则~而「=------，

DEmDEm

DFm+n

即~DE~HT'

.DEm

,,DFni-\~n

2.如图，已知力勿V7/〃G,AB：SC：CD=\：2：3,CF=\2cm,求火

AE,%的长.y-\£

.〃AEAB/\

解：•:AEHCF,，力=左/\

DG

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AB-

/.AE=­•CF.

DC

TAB：BC=\：2,CF=12cm,

1,、

/.AE=QX12=6(cm).

,:CF〃DG,

,BC_CF

,,丽=而

_BC2

.而=*

.BC_2

,•瓦

八BD八30八/、

/.DG=—•CF=-X12=30(cm).

DCZ

I寻找目标式的公共比

已知：如图，AD//BE//CF,EG//FIL

由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与豪奇均相等的公共

比例式.

ABDE

•:AD"BE"CF,

ACDr

「EGDE

又,/EG//FH,—=—

FilDF

■纥生

♦•万一而

［方法•规律•小结］

在此题中，隼是黑与新公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的•个

公共比，通常是两个图形中公共边的比.当要证的结论不是比例式（通常是等积式）时，常转

化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法.

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〃〃//8俶集钝"〃

3.已知：如图，四边形44切是正方形，延长火到点g连接力rA

交切于点凡FG〃AD交DE于点、G.

求证：FC=FG.

证明：在正方形/阅9中，AB"CD,

FC_EF

FC_FG

拓=拓

*：AB=AD.

：.FC=FG.

4.如图，在。4%®中，少是"延长线上一点，原交然于点G,Dy_____7c

交BC于点、E

求证：（DDd=GE・GR

证明：2：CD"AE,

.DG_CG

,,亨茄

又・・・力〃〃用

,GF_CG

••犷拓

DGGF修

.•.亨加即Hn加=〃•成

/、ABDF

②•：BF"AD,

AEDE

「CFDF

又•1CD//BE,——宗

CBDE

・包—竺

••赤=拓

通过添加平行线构造基本图形寻找公共比

如图，在△/%中，于点〃E为BC中点、,延长力4班'相交于

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由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定

理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证.

作EH〃AB交〃1于点H,

丝生

.AC=AHX

AHBE''BCBED/

AFDFAFAH

同理’lir~Dk:'~DT'DE\\

：△况《为直角三角形，且£为8c边中点，:.BE=CE=DE.

.竺—侬.竺—竺

•"~Bir~DE''l(r~DF

［方法•规律•小结］

证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究.有时图形中没

有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的.

〃〃〃应俶集^\//////

5.如图，梯形力比》中，AD//BC,点、E、分分别在力区CD上,

4E2

豆EF〃BC,若言=彳，AD=8cm,BC=18cm,求旗的长.

bo6

解：作47〃%分别交％EF于G,H,

:・AD=HF=GC=8cm.

BG=18—8=10(cm).

・0=2

・EIT5'

.丝=2

♦,益=守

・里_竺_2

♦•犷犷蔗

22

EH=~XBG=~X10=4(cm).

55

/.£7^=^+^=4+8=12(cm).

6.如图所示，已知△力以？中，AE：EB=1：3,BD\DC=2AD：与1,

EFAF

龙相交于点F,求无+却tl值.

解：过点〃作〃G〃小交旗于点G,

—DG=—CD=—CG\Jmi1—E1

BEBCEC3'BE3'

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AEDG

即m赤=而

所以/£=%

从而有AF=DF,EF=FG=CG,

EFAFEFAF

故行十万=砺+茄

=U

22

课时跟踪检测（二）

一、选择题

1.如图所示，DE//AB,DF//BQ下列结论中不正确的是（）

ADAFB丝丝

A—=—

DCDECBAB

CDCEAFDF

C—~~—D—=—

ADDFBFBC

解析：选D-：DF//EB,DE//FB,

，四边形即为平行四边形.

:.DE=BF,DF=EB.

.AD__AF_AF

''~D(r~Fir~DiiA正确.

CE_DE_BF

~CB=~AB=7kB正确.

CDCECE

~AD=~EiT~DF,C正确.

2.已知线段a,m,n且ax=mn,求作x,图中作法正确的是（）

解析：选C因为ax=“，所以故选C.

3.如图，在中，B,〃分别在“，力月上，下列推理不正确的是

)

0

CE

15

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“ABBDADBD

A.BD/ZCE^-B.BD//CE^-

“ABAD“ABBD

C.BD//CE^~D.BD〃CE=F五

解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的，D

项是错误的.

4.如图，将一块边长为12的正方形纸/物的顶点4折叠至小边上的点区使然=

解析：选C如图，恒MN"AD交DC于N、

••砺=庇

)15

又•；AM=ME,：.D^NE=-DE=~

519

：.NC=NE+£€=-+7=—

PD//MN//QC

5

.PMDN25

••痴=而=叵=T?

T

二、填空题

5.如图所示，己知DE//BC,BF',EF=3:2,贝ijAC：AE=

解析：'：DE//BC,

.AEDEEF

♦・就=犷而

*：BF：EF=3:2,

：.AC\AE=3：2.

答案：3：2

D

16

BC

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6.如图，在△/6C中，点〃是4C的中点，点6是加的中点，451的延长线交及7于点凡

解析：过点。作〃犷〃"'交6c于点机

♦.•点£是劭的中点，

...在△应财中，BF=FM.

•••点〃是4c的中点，

.•.在△0尸中，CM=MF.

.BFBF1

•'~F(rFM-¥M(T2'

答案：|

7.如图，四边形4%》中，N4=/Q90°,AD：AB：BC=?>：4：6,E,尸分别是4?,

CD上的点，AE\AB=DF；DC=\：3.若四边形ABCD的周长为1,则四边形AEFD的周长为

解析：因为在四边形46(力中,

AD：AB,.BC=3：4：6,

所以可设42=34,A44k,Bg6k,

作DG上BC交BC于点、6,交介于点H,

则〃G=4kGC=3k,

所以DC=Nl6k'+9炉=5k,

因为四边形力6徵的周长为1.

1

所以34+4A+6什54=1,所以

因为笈尸分别是48刃上的点,

AE：AB=DF：DC=\；3,

ll,,4k5k

所以/l£=W，DF=—,

取BE,⑦的中点.肌N,令EF=x,MN=y,

17

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案

2x=3A+y,

则由梯形中位线得,

2尸x+6h

[x=4k,

解得《即EF=4k.

[y=5kf

所以四边形力"9的周长是

,4k、,5k15

3A+—+4k+—=104=10X—=~

ooioy

5

案

答9-

三、解答题

8.如图，6在然上，D在BE上,且四：BC=2:1,ED：%?=2：1,求E、

八口：DF.\

解：过点〃作DGHAC交所于点G,X\\

DGED22ABc

则石产N=个所以加『跖

DCCDO6

又「BC=~1AC,%\\

2

所以DG=-AC,

ABC

…DFDG2bL2

所以万=高靖所以征=严

7

从而AD=-AF,故AD:DF=1:2.

y

9.如图，在四边形力及力中，AC,初交于点0,过。作4?的平行线,

与/〃，8c分别交于其F,与龙的延长线交于4

求证：Kd=KE・KF.

证明：延长%BA,设它们交于点〃

因为K0//HB,

“、、K0DKKEDK

所以犷应加=而

而N仞距HU仞HB

所以犷丽即拓=拓

因为小〃血,

同理可啥需

所以与=需，即KG=KE・KF.

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2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1全册学案

能颁提珈题I

10.如图所示，在梯形4?切中，AD//BC,厮经过梯形对角线的交点

0,旦EF"AD.

(1)求证：EgOF；

⑵求分铀值;

112

⑶求证：耐京「加

解：(1)证明：9：EF//AD,AD//BQ

：.EF//AD//BQ

EOAEOF_DF

・.m/闱••下=方~B(r~DC

•:EF/IAD/IBC、

AEDF

AlTDC

EOOF

BCBC

：.EO=OF.

(2)*：EO//AD.

EOBE

ADBA

....EOAE

由⑴知质=而

・EOEOBEAEBE+AE

,,乐十瓦'=瓦+诟=AB

POFO

(3)证明：由⑵知五+斤=L

auDL

2EO.2EO八

,又EF=2EO,

nUDC

・竺+丝=2

^ALTBC~

8。一EF

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三.相似三角形的判定1

1.相似三角形

(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应

边的比值叫做相似比或(相似系数).

(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的

三角形与原三角形相似.

2.相似三角形的判定定理

(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两

个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等,两三角形相似.

(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边

对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等,

两三角形相似.

引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这

条直线平行于三角形的第三边.

(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三

条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似.

在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1,即两角对应相等，两三角形相似.因

为它的条件最容易寻求.在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.判定定理2

则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多.

3.直角三角形相似的判定定理

(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐比对应相等，那么它们相似；

②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.

(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角

边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形

被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用.

相似三角形的判定

如图，已知在比■中，AB=AC,ZJ=36°,初是角平分线，证明:

△ABCsXBCD.

D

20

B

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已知ZJ=36°,所以%=/C=72°,而8〃是角平分线，因此，可以

考虑使用判定定理L

VZJ=36°,AB=AC,

...ZWNC=72".

又,：BD平-分NABC,

：./CBg36°.

:.NA=/CBD.

又,：：.!\ABC^/\BCD.

［方法•规律•小结］

判定两三角形相似，可按下面顺序进行：

(1)有平行截线，用预备定理；

(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；

(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角.

/〃/,题俶集^/////

1.如图，D,£分别是4?,/C上的两点，C9与班'相交于点。，下列条件B丫/♦

中不能使△｛跖和△/切相似的是()歹4

A.N6=NCB.ZADC=AAEBc

C.BE=CD,AB^ACD.AD：AC^AE'.AB

解析：选C在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似,

在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等.故选项A、B、D都能推出两三角

形相似.在C项的条件下推不出两三角形相似.

2.如图，在四边形ABCD中,^=—»而=后EH,相交于点

0.

求证：△侬s△腋

证明：如图，连接被

..AE_AF

・砺=万

：.EF//BD.

「•.BGDll

乂■否=而

：.GH//BD,

C.EF//GH.

：.ZEFO=ZI/GOfZO//G=ZOEF.

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:ZEFSMOIIG

3.如图，正方形力用力中，点£是勿的中点，点少在比上，且⑦：

-分、十AEAD

BC=1求证：五尸》

:4,ErEC

证明：设正方形力腼的边长为4a,

则AD=BC=4a,DE=EC=2a.

因为CF\BC=1：4,所以CF=a,

4a°竺=在=2

所以溶瓦=2

CFa

ADDE

所rri以X芽==

ECCF

又因为N"=NC=90°,

所以/\ADES/\ECF.

AEAD

所以t斤

7E7F3EC

相似三角形的应用

如图，〃为的边46上一点，过。点作庞〃6C,DF//AC,AF交DE于G,BE交

〃于H,连接GH.

求证：GH//AB.c

根据此图形的特点可先证比例式铝枷立，再证△£G〃"E/x)\

EDB,由相似三角形的定义得/iS盼=/后切即可.A^—^B

'：DE//BC,

•空』匹即空竺

FCAFFE1DGFB

又DF//AC,：.力=江

11DVD

.竺_胆.生

••犷丽••丽=砺

又4GEH=/DEB,：./\EGH^/XEDB.

：.AEHG=AEBD.

：.GH//AB.

［方法•规律•小结］

不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系.有时

用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系.

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〃〃//8俶集钝"〃

4.如图，四边形/时是平行四边形，点尸在胡的延长线上，连接⑦

交力。于点£

（1）求证：XCDEsXFAE；

⑵当£是/〃的中点，且比'=2切时，求证：ZA=ABCF.

证明：（I”.•四边形/版是平行四边形,

：.AB//CD.

又：点尸在劭的延长线上，

：.4DCF=4F,Z.D=ZFAE.

:.△CDEsXFAE.

⑵是四的中点,

:.AE=DE.

,《DDE

由XCDEsXFAE,得江而

：.CD=FA.

：.AB=CD=AF.

:.BF=2CD.

又'：BC=2CD,：.BC=BF.

:2F=/BCF.

5.如图，在口△/■中，/物仁90°,ADLBC于D,点£1是

4C的中点，切的延长线交的延长线于点E

七、TABDF

求证：褶公

证明：•・•£是RtZUZT斜边/C上的中点，:・AE=EC=ED.

：.AEDC=ZC=ZBDF.

又・Z〃J_比1且/的C=90°,：.Z.BAD=Z.C,

:・/BAD=/BDF.

又.乙F=LF,：ZBFS(\ADF、

.DBDF

•,丽=方

_...ABDB

又在Rt△力物与Rt△物中，—,

.ABDF

,•犷方

课时跟踪检测（三）

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一、选择题

1.如图所示，点£是。力腿的边比1延长线上的一点，与切相交于点尸，则图中相

似三角形共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

解析：选B有3对，因为NABC=NADP,AAEB=ZEAD,所以△仍

因为NABC=NDCE,/£为公共角,

所以△氏伤s△。五

因为乙AFA4EFC,/DAF=NAEC,

所以△氏汉

2.三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是（）

A.直角三角形