离散型人寿保险与生存年金的方差计算

离散型人寿保险与生存年金的方差计算漆世雄作者简介：漆世雄（1958－），男，湖南人，浙江财经学院金融学院副教授，硕士。摘要：在保险精算的理论上，计算人寿保险与生存年金的趸缴净保费的方差，通常需要借助被保险人的死亡概率密度函数。但在实际应用过程中，被保险人的死亡概率密度函数很难获得。本文利用生命表编制计算方差的转换函数，再利用转换函数计算人身保险中人寿保险与生存年金的方差。关键词：人寿保险；生存年金；转换函数；期望值；方差一、引言众所周知，保险人开办人寿保险业务，必然要承担一定的风险。也就是说，保险人在收取保费的时刻，并不知道将来要支付的保险金是多少，因为投保人身保险的被保险人在保险期内是否死亡是随机的，所以保险公司将来要支付的保险金也就成为一个随机变量。衡量随机变量的波动幅度和稳定性的指标是方差或标准差。方差越大，也就表明保险公司将来支付保险金的波动幅度就越大；方差越小，则说明稳定性越好。因此，通过计算保险金的方差来了解保险人开办人身保险业务所承担的风险，对保险人来说是十分必要的。如果事先能获得被保险人的死亡概率密度函数，对于死亡即付的、终身寿险的保险金（称之为连续型寿险），计算方差时可采用以下公式：但由于被保险人的死亡概率密度函数事先几乎不可能获得，所以以上公式很难在实际中被采用。由于这个原因，在保险精算的实际运用中，一般都是采用编制生命表的方法来计算净保费的。本文所讨论的内容，就是利用生命表来编制专门用于计算方差的转换函数，再通过转换函数计算离散型寿险和生存年金的方差。对于连续型寿险模型，只需要借助UDD②假设就可以了。而编制用于计算方差的转换函数和专门用于计算方差的软件，在计算机上利用办公软件是很容易实现的。二、人寿保险与生存年金的方差计算原理与模型（一）人寿保险方差计算原理与模型人寿保险又称之为死亡保险，它只提供一个确定时期的保障，把被保险人在保险期内的死亡作为保险金给付条件，若被保险人在保险期满依然存活，则没有保险金给付。对于一个（x）投保定期n年、死亡年末给付1单位元的投保人，保险公司收取的趸缴净保费为：（1）容易看出，以上公式的右边正是一个随机变量的数学期望。欲假设广用T喊表示鞋一个三x岁亮的被榨保险俱人在轮签单延之后肝的死拴亡时藏间，携用风Z罗表示内保险殿人为蹦这个瞧投保供人将四来所敞支付砍的保彻险金森的现叙值，稻对于轨投保盘n年纤定期朴寿险狮的被痒保险廉人，淘T与仓Z之帝间的纲关系助为：猜，机欣；化，桃当被屡保险洁人在吗签单巡后的签（x遍，x乖+1嗓）之育内死计亡时遣，在廊x+粗1的布整数揭年给页付1伤单位厉元，功这1牲单位原元在诊签单午时（娘x岁砖）的姥现值摸为江；当偏被保兴险人轰在签政单后钟的（培x+牵1，维x+津2）民之内花死亡倦时，芹在x朋+2胡的整台数年斗给付释1单细位元前在签攻单时钓（x届岁）肤的现遇值为教肠；纸……灾；当控被保拢险人奶在签厚单后致的（余x+鼓n-危1，膏x+盈n）杂之内晃死亡霜时，信在x株+n柏的整赖数年冲给付槐1单铃位元若在签岸单时落（x袍岁）现的现森值为穗仍；当疯被保侦险人反的存鹊活年扑龄超渗过x气+n梅岁，掏就停贴止给炎付。呜将随幻机变拼量T定和Z哭的取外值及裤其相霸应的具概率残列表福如下肌：识T鲁0拍≤统T<交1恭1输≤姨T<贞2症……夹n-汪2凯≤时T<们n-绵1浙n-叙1柄≤什T<急n角T腐≥哨n胀Z置v爬v吵2弓……至v摧n-受1茧v萝n纵0瑞p做……爬显然咐，以跟上的娱概率友系列阅构成求一个毛全概昆率空收间：宋统宿撒备蹦炊蔬丢娃鹿量乓（2旦）剑所以类有：秀调久焦裕（确3）促因此侧，我想们可放以采粘用以拜下公算式来日计算圈Z证的方山差：茶技喉挤婆紫拾疼茫恢渔秃馅没留史吴（赞4）环在计未算征时只田需采镰用目别前通摔用的云方法扛就可窗以了政，现厦在只眼需要捆计算填出公汁式中戒的值朗。糊为了辜保持三符号漆的一假致性灯，我隐们记袄：汽将分磁子和缓分母物同乘蠢：探（5蚂）沙为了焰简化材公式造和方拼便计军算，初我们浓设置炕以下瓶几个龟新的涂转换庸函数炼：，，滔以上终公式脸就可巧以简贺化成栏：支（7仅）啦由此圆而计厉算出半寿险龟的方谱差：撇，诞或记让做：姓兵船劫冠湿颗破（诞8）敞用同侵样的畜推导耽过程搏，我农们还椒可以稀得到恰终身掩寿险聪和延超期寿幸险趸饭缴净警保费厘的方乞差：合（9采）践（1捉0）案对于盟给定甚的死湿亡率挂，利场用计览算机刊软件培，我苹们可稠以非鲁常容推易地松制作式以上矿这些甲转换退函数悼计算京表，根例如庄，对奴于疏“滴中国父人寿耐保险抗业经真验生膛命表辨（1猜99锐0-钻19会93蜘）圾”林中给缩出的被男女切混合荷死亡触率，施利用鸡计算嘱机软朽件编戏制的绝用于圆计算据方差葬的转姜换函眠数表跳如下尊：粪中国铺人寿辜保险针业经夜验生榜命表病（1翻99笨0-泻19威93马）换田算表竟（男枣女混专合，假局部景）喷利雅率：妥6%伤年龄氧（元x叼）纤2界D宣x编2译N谈x激2能S拳x幼2怕C超x营2财M填x辣2快R围x撕0领10导00携00多0.酱00贯90方07暂34刻7.健06司81奇24隔67也38姓.3该5友25丘88恩.9猪99地6修91透59切.7常57哨0峰69债91阴6.慌60无79姑1培88霜74符07旧.4回4孔80煌07公34虹7.弃06龟72底23或93骆91旱.2原8控15将92捕.2尖15胞6番65尝70完.7蔑57强4原60骆75晒6.芳85荷08玻2臣78演81况97镰.2普5怒71吼19裤93弦9.典62饭64竖23研20勺44劈.2安2公10订31其.1惯94主3孤49份78附.5粗41仗8某54员18辅6.榆09蚀34析3劝70振04波61迁.5轻5彩63悠31帆74至2.相38个57这11撕21流04西.6身0隙69亚4.附47虎68别39粘47周.3浑47村5绘49谣20眯7.惹55融16师4摆62俊27塌13写.8工1造56旅31扯28溪0.匀83烟50缺78猴03者62板.2交2狡48很3.吐27攻38膀32汇52晕.8托70庙7捧45禾26抹0.恳20搭41帮5扎55低37株29休.8妙0带50蝴08陕56赵7.喝02功45妇14方90两81咬.4仪0绘34抵5.部95慕79罪27淘69勿.5丧96结9径42丘00捐7.惧33须35桐6刘49暖24多71躺.5扬9握44登54桥83耕7.族22贩40疾14阻05以14祝.3偿8逮25票3.猪77丹45熟24跪23刑.6款38陪9匀39疮23命7.惰73议66雷7疫43熟80碰44挨.1枪9齿39取62开36交5.予63辫35辉68富56惑77映.1丑6袭19毕0.盯64挠04咐21静69徒.8鱼64谢4源36节81嫁4.君09谦76闭8潜38命96群67喊.1打3龄35陈24式32述1.设44直31快72笋33沫11物.5跃3剂14扛6.旨00内38撑19艺79齿.2往24迈0绵34通64贼4.蝶23瞒32免9桑34蹦66兆56线.3樱5兰31量34腔65柳4.错31孝28夫19夸89阔90游.1老0你11狡5.古38穷76控18仇33侵.2蔬20廊2更32之66贯5.罩00挤93减10漂30屠84眠07宣.5括3恐27茶87积99徒7.两95闻25突06女43评35抱.7软9扇94庸.9锻70愈6亏17浓17俘.8伪32洲6三30杆83妖1.芒78魄91专11补27继43季86骄.6鹅4冤24懒79只59征0.严42麦22般27贫63教37队.8柄4臂82蜘.7当84云9应16导22载.8库62勉0讯29勺11祸3.书95片65拔12琴24恼41娃20茧.3斧4独22良05男20述3.赚79筝19头79叶67壤47寇.4窜1兰77售.3佩46肉8洁15饶40个.0劲77份1行27告49放1.名09臂45息13钻21龙71齿88暖.8龙9掠19闲61献08强3.西44捐17类59冤15蚂43胳.6煎3璃76把.5争45圣7灭14伟62口.7怀30爬3悼25搂95乞1.长01赵74漏14蜂19越32催20芒.7翻9努17授43俩89上4.羞55炮15绢63近04房60毒.1饶9孔78房.5大88属4棉13里86秀.1友84块6白24向48霸8.迅28碎70慌15追17滩18淘87测.2禾3永15魄50烤67滚3.原76配13肆88感65唤65觉.6验3迅80誓.9剂25腥9躺13笨07萝.5国96下2荐23夕10激2.旅10督25小16誉15孤28战98套.1苹0翠13漆78多78岩6.恳53消12钩33袄58聪91钩.8昌8陈81亩.9膏19征4减12湿26塑.6帐70哨3增21狼79演4.车50裕63磁17撞13轰59汁96虾.8席4炼12酷25撤88垮8.匠43剪10碗95益71吼05蹄.3护5近81扮.0星94爷6归11炎44曲.7痕50欠9唐20劝56菠7.浆83检60居18久12售09元55赢.6突1漫10度89宣89阶1.强59况97彼31斯21忠6.戴92主77赖.9江38羞6雹10堆63怕.6砍56蓄3别19含42聋3.英08滚51俗19理10讨75亩72舅.1淡2粮96摊89箩35苍.9藏8击86招41盛32辣5.薪33蛛72扎.9委53凭0稻98阔5.挪71丹77先18妖35机9.蝴42朝88傍20沈95膊66团5.绣85冤86叮13犯63许.8女5山76伸72房38究9.袭35甜66烂.2像40约7稼91迷2.黑76昌47遭17乌37妈3.背71娘11算21理85费07因6.贷03币76惭56交98训.0平0灾68糊11匠02排5.瓶50饿59胆.3抱62虚4腿84谜6.循52兴40宏16软46鞋0.宝94姐64符22摩75生65咸8.尝00屿68亲06桥21朵.9条7药60痛45肉32雨7.积50坑52牙.5愁21强6叔78但7.李16溉16伞15匆61想4.盏42稻24峰23悉67猎28夸2.偷83柔60晋49况63砖.9傲7产53蛇64晶70献5.笛53水45宏.9韵29多1窃73今4.尾64镰00栋14引82贸7.脱26贪09吉24冲59汁83疫5.俘55键53义76喝81磨.1干4佛47冰59购74柜1.借56什40咐.0青46幸6打68色8.且71美09绑14输09汇2.装62系09冲25蛋53拒21士3.惊38租47毛78甲45乓.5万9伤42彼22猪06量0.教42爱34盛.9陪51丸5甘64赤8.棒66巩43慧13欣40测3.盼91物00钳（二丧）生惊存年迹金的疗方差烦计算谦原理避与模赚型欢生存污年金策是指蔑以年哨金保寸险的晶被保嘴险人描的生众存为象条件叛，在耗保险再有效酸期内挥按照驱年金脖方式肃支付齐保险拥金的劳保险区。与威人寿意保险畜相同篇，用中T表娘示一妈个x肌岁的末被保蔽险人星在签剂单之唇后的叙死亡挡时间屿，用槽Y表锅示保奔险人渣为这甘个投调保人莲将来仍所支戒付的曾保险节金的燕现值裳，对届于投铸保期晌首给鸭付、惹终身坦生存典年金惨的被瞒保险唤人，拣T与饶Y之还间的剂关系宁为：，片将随麦机变授量T盲和Y呀的取遇值及店其相揭应的惧概率固列表遥如下场：贯T再0厉≤冻T<县1错1住≤舰T<询2马2咐≤挨T<炉3并……最ω旷-1娱≤雀T<没ω聋Y尸……火p蚊……嘉表中余的概展率系尺列构而成全录概率炸空间翁。所开以有恩：姿亏（柜11胁）墨（否12雪）凝所以仇：不（遍13烤）无对于皇每年走期首歉末给饺付逮1棒单位衣元的哑n年杀定期醋生存业年金机，用亲同样窜的推向导过稠程可托以得文到其恢方差赞的计幻算公沈式为阵：液斧退与毙指殃或鲁挽阴绒眯畅汽垒梦串（1情4）括三、睬应筒用举说例阶（一献）寿罚险的本方差渗计算限对于除一男裕一女罚两个鉴被保祥险人食同为复30喂岁、钢投保趟20链年定跳期死戒亡年醉末给背付的姥寿险膝，试惕采用州“康中国山人寿痛保险芝业经皇验生鲜命表稼（1夺99锋0-虑19耕93昂）忧”苍比较长他们厦两人激寿险们的风坡险大腿小。晶首先东利用波计算炭机软些件分道别编渴制专饶用于浑计算岩方差此的男么性和芒女性虹转换时函数候表和谱计算谱方差摸的软泼件，漂然后棍分别藏计算益他们妖的方折差。博应用凝公式汇（8置），亮计算荷男性饮被保弟险人己的趸孔缴净证保费脂方差驴为：增应用脉公式类（8重），物计算拘女性围被保幸险人槐的趸瘦缴净昆保费宣方差剃为：库计算覆结果歉表明丹，在遇相同隆寿险群险种葵的情古况下雷，女丑性被酒保险擦人的柔方差踩较小扒，说既明保趋险人页未来缩支付眨的保粪险金叼的稳倦定性衬较好昨，同良时，壁收取趁的净爸保费午相对在较少氧。考慈虑到摩两者林收取箩的净锯保费绑（期森望值舱）不繁同，璃分别束计算艇两者感的标毙准差做系数择为：弯从保目险金岁的离妇散程挥度来寺看，屈男性奋被保充险人芒的离缸散程岸度相隐对较陕小。瓜如果教将以知上寿验险调染整为旧死亡霞时即驴付，兆即连平续型蝶寿险境，在沿UD迫D假幕设下茄，计辈算结烘果为堵：居（二况）生裁存年州金的凶方差陡计算仓对于岛一男堪一女醒两个墙被保怨险人照同为复30点岁、总投保心期首弯付终申身生赴存年躲金，坐试采尽用筛“拖中国泛人寿喝保险急业经督验生秘命表占（1第99上0-司19把93彻）糠”袋比较勤他们红两人概寿险存的风敌险大简小。罚解：念应用洞公式描（1蚁3）钻，计烟算男弱性被孟保险填人的售趸缴拥净保巷费方攻差为密：萝净保铅费为踪：登应用汁公式锄（1秒3）更，计猎算女喇性被威保险宴人的卖趸缴执净保隶费方旷差为奔：乏净保耐费为毙：生计算怪结果枪表明功，在兄相同胳生存待年金裙的情次况下安，女执性被赚保险献人的雁方差暖比男胶性稍般大。友这个肃结果忘与寿改险的娇情况昏不同司，说精明生絮存保挨险和叠死亡练保险堤对于砌保险怪人的冒风险怎是不输同的术。野在以持上的滴计算薄结果困中，选导致正男女并性别皆的差赠异使搁得保碌险人绵承担撞的风炎险不哥同的栗原因条，是宏因为昼在生胸命表申中，阳两种定性别慨被保蚕险人妹的存循活概很率的漆不同属，在俱所有蓄的年秩龄段由上，贯女性菜存活海概率葵都要膊大于攻男性母。盾四、刊结束男语叠本文粘探讨塌了借闸助与检生命威表、蛋采用肆计算效离散园型寿渐险和售生存员年金妻的方魄法，硬通过骨编制斧专用侨的转隆换函贵数来碰计算担寿险端和生谋存年拖金的览方差雹，从疏而避蹦开了缘难以夸获得牙的被头保险末人的胆死亡病概率袖密度钢函数小，使折得方弊差的芳计算度简便欢易行堆，具杰有实时际意奋义。泊参考滑文献恭[1编]李交秀芳它、脑曾庆柱五：拴《保呢险精奸算》谷,貌中国也金融裁出版星社,涨20可05底年3赶月。学[2鞠]王铸晓军非、江竞星、墨刘文耽清：申《保旺险精舰算学乞》,辽中颤国人虏民大圆学出兔版社驳,1摆99敏5年材都1荡2月西。偿[3辈]范次克新犯：《辨保险讲精算任学教下程》抗，辱南京粪大学灵出版泊社,床20从03胃年3紫月。绕[摔4迹]射李晓劣林：耳《一悠元生琴命保吉险与馋年金议》喝,卷经济俯科学江出版哲社备,斑20帜01窄。下[字5钱]跳蒋胜孟,快李伯折经：割“鹅老人仗精算点中服梳务表访的构舰造别”容，《超精算衬通讯业》有,中20庆00筑年第样2布期。妈[4塘]夹王晓饿军：观“记企业政养老易金计样划精昼算模