线性代数第一讲

线性代数第一讲1第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

在我们所生活的世界上，

扔硬币、婴儿诞生无时无刻不面临着不确定性每时每刻都有各种现象发生.

——随机现象——确定性现象有一类现象在一定条件下一定发生掷骰子、玩扑克、2第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三在个别试验或观察中其结果呈现出不确定性；随机现象：大量重复试验后会呈现其固有规律性——统计规律性在大量重复试验或观察中其结果又具有统计规律性.3第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象结下了不解之缘——下面的现象哪些是随机现象？随机现象例4第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三随机试验：如果（1）试验能在相同条件下重复进行；抛硬币；H

例如,

掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数

寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命.一、随机试验（2）每次试验的可能结果不止一个，事先明确试验的所有可能结果；（3）试验之前又不能确定会出现哪一个结果.抛骰子；测寿命；记温度等.5第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用S或Ω表示.如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则该试验样本空间由如下

个样本点组成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}四

？

6第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三如果试验是测试某灯泡的寿命，则该试验样本空间如何描述？S={t

：t≥0｝如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，则该试验样本空间如何组成？如果试验是记录某地的最高和最低温度，则该试验样本空间如何描述？如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，则该试验样本空间如何组成？7第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三或：称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件.随机事件用A,B,C等表示.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S={i：i=1,2,3,4,5,6｝样本空间：事件B就是S的一个子集B={1,3,5｝

在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现.三、随机事件

在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件.8第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三事件基本事件复合事件（相对于观察目的不可再分解的事件）（两个或多个基本事件合并在一起，就构成一个复合事件）事件

B={掷出奇数点}如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件Ai

={掷出i点}

i=1,2,3,4,5,69第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三例如，在掷骰子试验中，在每次试验中必定发生，空集Φ，而“掷出点数8”则是不可能事件.两个特殊事件样本空间S，必件然事不件可事能“掷出点数小于7”是必然事件;在每次试验中都不可能发生，10第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三四、事件间的关系与事件的运算1.事件间的关系11第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三12第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三2.事件运算定律（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）德.摩根律

互斥与互逆的区别？13第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

是A的对立事件，

={两件产品不都是合格品}在概率论中，常常叙述为：={两件产品中至少有一个是不合格品}A={两件产品都是合格品}，

例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况.记问：={两件产品中恰有一个是不合格品}{两件产品中都是不合格品}14第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三若记Bi={取出的第i件是合格品}，i=1,2={两件产品中至少有一个是不合格品}

A=B1B2

问如何用Bi表示A和？A={两件产品都是合格品}，

例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况.记15第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三1.A发生,B与C不发生练习：设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.或2.A与B都发生,而C不发生或16第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三3.A、B、C中至少有一个发生4.A、B、C都发生或ABC恰有1个发生恰有2个发生ABC3个都发生17第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三5.A、B、C中至少有两个发生或

6.A、B、C都不发生恰有2个发生3个都发生或18第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.

了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.19第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三1.0Rn(A)1在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数fA称为事件A发生的频数.五、事件的频率2.

Rn(S)=1

3.设A,B

是互不相容的事件，则

性质fA/n称为事件A发生的频率.记为Rn(A).20第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动；试验次数越多，一般来说摆动越小.

高尔顿钉板试验

频率稳定性随机事件一个极其重要的特征：频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的.21第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.

这种确定概率的方法称为频率方法.在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，统计概率称此概率为概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.22第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.23第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.六、概率的公理化定义“公理”就是一些不加证明而公认的前提.24第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三概率的公理化定义2

规范性对于必然事件S，有P(S)=1(2)3

可列可加性设A1,A2

,…

是两两互不相容的事件，则有

(3)1

非负性对每个事件A，有P(A)0

(1)设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:25第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三文氏图

Ａ设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件

A把图形的面积理解为相应事件的概率26第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).性质1对任一事件A

，有

27第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三性质2

即不可能事件的概率为0.

利用公理3即得.28第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三移项得前式.便得证后式.再由由可加性性质3设Ａ、B是两个事件，若,则有

29第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三又因再由性质3便得.性质4对任意两个事件A、B，有30第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三性质5（有限可加性）设A1,A2

,…

An是两两互不相容的事件，则有

(3)性质6对任一事件A

，有

31第三十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

1657年，惠更斯出版的专著《论掷骰子游戏中的计算》被认为是概率论中最早的论著。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出