自动控制系统的数学模型

自动控制系统的数学模型第一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三本章概述

2.1动态微分方程式的编写

2.2传递函数

2.4系统动态结构图

2.6系统传递函数的求取

2.3典型环节的传递函数

2.5系统结构图等效变换和化简第二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三本章重点

本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。通过本章学习，应着重准确掌握传递函数的概念及其求取方法、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。本章主要内容第三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三概述微分方程（时域数学模型）传递函数（复域数学模型）频率特性（频域数学模型）动态结构图(几何模型)

返回1.数学模型------描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法:(1)解析法

(2)实验辩识法3.经典控制理论常用数学模型的主要形式:第四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.1系统的微分方程式

步骤：1.确定系统输入量(给定量和扰动量)

与输出量(被控制量,也称系统响应)2.

列写系统各部分的微分方程

3.消去中间变量,求出系统的微分方程

4.将微分方程整理成标准形式。一、线性系统微分方程的建立第五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三图2-1RC电路例2.1编写如图2-1所示RC电路的微分方程式第六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

解:(1)确定输入、输出量

ui(t)----输入量

uo(t)----输出量(2)列写微分方程（3）消去中间变量,可得电路微分方程式第七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三图2-2直流电动机电枢电路例2-2编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式第八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

(2)列写微分方程式：解：(1)确定输入量和输出量：取输入量为电动机的电枢电压ua，取输出量为电动机的转速n。第九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三（3）消去中间变量并予以标准化后得电枢回路的电磁时间常数：电动机的机电时间常数：第十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三若不考虑电动机的负载转矩TL，即设TL=0，则有返回第十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三1、叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即

L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)复习拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义二、拉氏变换的运算定理其中，原来的实变量函数f(t)——原函数变换后的复变量函数F(s)——象函数第十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三5、终值定理：2、比例定理：

K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍。即

L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s)3、微分定理：在零初始条件下4、延迟定理：L[f(t-τ)]=e-sτF(s)第十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三通过查表，已知原函数f(t)，可求得象函数F(s)；同理，已知象函数f(t)，可求得原函数F(s)。三、原函数和象函数之间的变换第十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.2控制系统的传递函数一、传递函数的定义当初始条件为零时，输出量c(t)的拉氏变换式C(s)与输入量r(t)的拉氏变换式R(s)的之比。即

二、传递函数的一般表达式设系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，则系统微分方程一般形式为第十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有

第十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

1、直接变换法先建立微分方程，然后在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，即可根据传递函数的定义求得传递函数。根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：三、传递函数的求取方法第十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：初始条件为零时，拉氏变换为该电路的传递函数为式中——RC电路的时间常数。，求此电路的传递函数。例2-3图2-1所示RC电路的微分方程式为第十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，有

s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)

根据传递函数的定义，有可见，只要将微分方程中的微分式d(i)/dt(i)换成相应的s(i)，即可求得传递函数。求此环节的传递函数。例2-4已知某环节的微分方程为第十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有电阻u=iR拉氏变换式为U(s)=I(s)R电感拉氏变换式为U(s)=LsI(s)电容拉氏变换式为I(s)=CsU(s)由以上讨论可见，将电工基础复数阻抗中的jω换成s即可。

2、电路复阻抗法第二十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：例2-5用复数阻抗法求RC串联电路的传递函数。第二十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：根据电子技术基础学过的知识，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因为A点为虚地，即UA≈0，所以I(s)≈0，因此有所以例2-6求图2-3所示运算放大器的传递函数G(s)。第二十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三四、传递函数的性质（1）传递函数和微分方程存在一一对应关系，对于一个确定的系统，微分方程是唯一的，其传递函数也是唯一的。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的大小、形式无关。（3）传递函数是一种数学抽象，因此不能反映系统的物理结构。不同性质的物理结构，完全可以有相同的传递函数。（4）传递函数的分母是它所对应的系统的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系统动态过程的性质，所以由系统传递函数可以研究系统的动态特性。返回第二十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.3典型环节的传递函数比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示

式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：比例环节第二十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三惯性环节惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系求拉氏反变换得第二十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三积分环节传递函数为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：理想微分环节传递函数为：第二十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三比例微分环节传递函数为：振荡环节微分方程为：其传递函数为：自然振荡角频率阻尼比第二十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三

当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：

当时，上式特征方程的根为共轭复数输出量为：第二十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三延迟环节传递函数为：微分方程为：返回第二十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.4系统的动态框图（结构图）框图又称结构图，是传递函数的一种图形描述式，可以形象地描述系统各单元之间和各作用量之间的相互关系，比较直观。、框图的组成1、信号线：带有箭头的直线，，线上标注信号的象函数名称，箭头表示信号的流向。2、比较点：表示对两个或两个以上的信号进行代数运算，输入信号处应标明极性。第三十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三3、功能框：表示环节对信号的变换，框中写入环节的传递函数4、引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上引出的信号，大小和性质完全相同功能框比较点引出点第三十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三二、框图的画法1、由输入到输出，依次列写系统的全部运动方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、从输入开始，由左向右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至所需的输出量3、由内向外，画出反馈环节第三十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：直流电动机的基本工作原理：ua→

ia→

Te→

n根据得例2.7画出他励直流电动机的框图。第三十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第三十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三按照信号传递关系依次连接各环节，即可得到直流电动机的框图：第三十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例2-8画出图2-6所示系统的系统框图。第三十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三返回解：系统由3个运算放大器串联组成。第三十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.5系统框图的等效变换和化简任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则第三十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三1、串联等效一、典型连接的等效传递函数2、并联等效第三十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三3、反馈等效第四十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三1、相加点从单元的输入端移到输出端，如图2-5图2-5相加点后移变位运算二、相加点及分支点的换位运算原则：移动前后保持信号的等效性第四十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三图2-6相加点前移变位运算2、相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示第四十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三3、分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示图2-7分支点后移的变位运算第四十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三4、分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示图2-8分支点前移的变位运算第四十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三5、非单位反馈的等效变换第四十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例2-9化简下图所示的多回环系统第四十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三返回第四十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三2.6系统传递函数的求取一、系统的开环传递函数1、开环传递函数：2、前向通道传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为Go(s),Go(s)=G(s)H(s)输入端对应比较器输出E(s)到输出端输出C(s)所有传递函数的乘积，记为G(s)

第四十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三3、反馈通道传递函数：输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为H(s)第五十页，共六十五页，编辑于2023年，星期三二、系统闭环传递函数在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。例2-10试简化图示系统结构图，并求系统传递函数第五十一页，共六十五页，编辑于2023年，星期三三、系统对给定作用和扰动作用的闭环传递函数图2-11所示系统中有两个输入量——给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量2-11Rr(s)和D(s)同时作用于系统第五十二页，共六十五页，编辑于2023年，星期三1、只有给定作用时的闭环传递函数和输出量为：第五十三页，共六十五页，编辑于2023年，星期三因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量为：2、只有扰动作用时的闭环传递函数和输出量为：第五十四页，共六十五页，编辑于2023年，星期三四、系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数误差的定义：单回环系统中，给定输入r(t)与反馈信号

b(t)的差值，以e(t)表示，即

e(t)=r(t)-b(t)

或E(s)=R(s)-B(s)当只有给定信号R(s)作用下的误差传递函数和系统误差R(s)作用时，可认为D(s)=0，所以有第五十五页，共六十五页，编辑于2023年，星期三当只有扰动信号D(s)作用下的闭环传递函数和系统输出D(s)作用时，可认为R(s)=0，所以有第五十六页，共六十五页，编辑于2023年，星期三五、梅逊增益公式从输入端到输出端的前向通路总数Δ的余子式，即在Δ中，除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项主特征式从输入端到输出端第k条前向通路的总增益（或传递函数之积）闭环传递函数（或总增益）第五十七页，共六十五页，编辑于2023年，星期三所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和系统的主特征式第五十八页，共六十五页，编辑于2023年，星期三例2-11求如图2-11所示系统的传递函数。第五十九页，共六十五页，编辑于2023年，星期三解：（1）该系统只有一条通道，即n=1，所以P1=G1G2G3G4G5G6。

(2)该系统有4个负反馈回路，

L1=-G1G2G3G4G5G6H1L2=-G2G3H2

L3=-G4G5H3L4=-G3G4H4

并且只有两个回路互不接触，即

L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=