药学高数微分方程

药学高数微分方程1第一页，共十九页，编辑于2023年，星期三实例2:质量为m的物体从空中自由落下,物体下落距离s与时间t的函数关系.

两端对t

积分设初速度和初始位置都是零,t=0,v=0,s=0得C1=0,C2=0,于是s=1/2·gt2据牛顿第二定律,2第二页，共十九页，编辑于2023年，星期三未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程(ordinarydifferentialequation).

未知函数为多元函数的微分方程为偏微分方程方程中出现的未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶(order).使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解(solutionofdifferentialequation).N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2·gt

23第三页，共十九页，编辑于2023年，星期三如果方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,则称为通解(generalsolution).确定任意常数的解为特解(particularsolution).定通解中常数的条件为初始条件(initialcondition)当t=t0时N(t0)=N0,t=0,v=0,s=0

微分方程的解的图形称为积分曲线.一族曲线N(t)=CektN(t)=N0ekts=1/2·gt

24第四页，共十九页，编辑于2023年，星期三第二节：一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:分离变量得:例求微分方程的通解:解:分离变量得:两边积分得:5第五页，共十九页，编辑于2023年，星期三例9-1求微分方程的通解:解:分离变量得:简化为6第六页，共十九页，编辑于2023年，星期三解:当y≠±1时分离变量得两端积分,得arcsiny=x+C

y=sin(x+C)

y=±1也是方程的解,但不是特解.称为奇解.

其图形称为通解所对应的积分曲线族的包络.例9-2求微分方程的通解:2/2-/2-27第七页，共十九页，编辑于2023年，星期三例9-3

求微分方程的通解解:变形得分离变量

两边积分得8第八页，共十九页，编辑于2023年，星期三变量代换形如的微分方程称为齐次方程:令,则y=ux

9第九页，共十九页，编辑于2023年，星期三例9-4求微分方程满足

的特解解:令,则y=ux由初始条件:C=1故特解为10第十页，共十九页，编辑于2023年，星期三四、建立微分方程的几种方法(一)直译法例9-10放射性元素衰变符合一级速率过程(衰变速度与存留的质量成正比).某放射性元素初始量为M0,求其衰变规律.解:设t时刻该放射性元素的量为M(t),比例系数为k(k>0),则在时刻t的消耗量为M0-M(t).11第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期三分离变量镭的质量M关于时间t的变化规律为:当变量关于时间的变化率与变量的量成正比时,这个变量总是按指数规律变化的.如:化学中的一级反应,早期肿瘤的生长模型,药物的分解等(指数生长模型)积分得:12第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期三例9-11一颗质量为m的子弹以200m/s的速度打进一块木板,2秒钟后以40m/s的速度穿出该木板.已知木板对子弹的阻力大小与子弹的速度平方成正比.求子弹在木板中的运动速度解:设子弹在木板中的运动速度为v(t),由牛顿第二定律13第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期三由初始条件14第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期三例9-12警方在上午10:30发现一具尸体,测得其温度是22℃,其所在房间的温度是12℃,一小时后警方又测了一次尸体的温度,这时降为17℃.假设尸体所在房间的温度不变,此人死亡时的温度为37℃,求此人的死亡时间.解:设t时刻尸体的温度为T(t),则由牛顿冷却定律得分离变量得15第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期三由T(1)=17,求得k=ln2由T(t0)=37,求得

死亡时间大约在上午9:11左右16第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期三内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C

17第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期三找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条