材料力学马红艳材力

§2.8

拉压静不定问题一.静定静不定概念静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题.statically

determinate

problem特点：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。又称超静定问题。statically

indeterminate

problem特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。未知力数目：2(

FN1

,

FN2

)静力平衡方程数目：2(

∑Fx

=

0,

∑Fy

=

0

)静定结构，--------静定问题仅用静立平衡方程便能求解全部未知量。FBC1

α

αA2FFN1FN2xyα

αAF未知力：4个平衡方程：2个静不定结构，静不定问题。需要补充2

个方程。FFN1FN2FN3

FN43.

静不定次数degree

of

statical

indeterminancy未知力数目与平衡方程数目之差。也是需要补充的方程数目。未知力：4个 平衡方程：2个静不定次数

=

4－2

=

2此结构可称为2次静不定结构FFFN1FN2FN3

FN44.

多余约束（构件）

redundant

restraint------结构保持静定所需约束之外的约束。即没有这部分约束结构也能保持一定的几何形状（静定）。BC

DAFDBAFBCAF判断：静不定次数3个未知力2个平衡方程1次静不定BAFAFC

DFN1FN2FN35.

多余未知力

redundant

unknown

force多余约束提供的约束力。静不定次数=多余未知力数目二.

静不定问题的解法：判断静不定次数：方法1:

未知力数目－平衡方程数目方法2：多余未知力数目列平衡方程列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需要具体问题具体分析。列物理方程：变形与力的关系。列补充方程：物理方程代入几何方程即得FE

A2

2E

A1

1ABDl2l1l

=

l3

2C1a

a3

E3A3

=E2A22例题1已知：3211

1l

,

l

=

lE A

,

E2

A2

=

E3

A3

,求：各杆轴力解：1.判断：一次静不定。yxFFN1FN3aFN2aA2.列平衡方程⑵⑴=

0,

FN

3

sina

-

FN

2

sina

=

0

FxFN

2

=

FN

3

Fy=

0,

FN

1

+

FN

2

cosa

+

FN

3

cosa

-

F

=

0yxFFN3FN1aFN2aA3.列几何方程：Dl2

=

Dl3

=

Dl1cosaE1A1BE2A2CDaal21l

=

l3

23

E3A3

=E2A22

1

lDl2ADl3A´Dl1F321

1

2

21E

AE

AF

l=

N

2

2Dl

=

DlF

l=

N

1

1

,Dl4.列物理方程5.

列补充方程将物理方程代入几何方程得：FN

2

l

2

=

FN

3

l

3

=

FN

1

l1cosaE

2

A2

E

3

A3

E1

A1⑶Dl2

=

Dl3

=

Dl1cosa⑴FN

2

=

FN

3⑵FN

1

+

FN

2

cosa

+

FN

3

cosa

-

F

=

0cosaE1

A1E3

A3E2

A2FN

2

l2F

l

F

l=

N

3

3

=

N

1

1⑶联解⑴，⑵，⑶式，得(+)1

+

2

2 1

cos2

aE

1A1

l22E A

lFFN

1

=(+)2cosa+

1

1

2

N3N

2E2

A2

l1

cosaE A

lFF

=

F

=FABDa

a3C2

1F

N2=FN3

→0FN1→F,FN1→0,2cosaFFN

2

=

FN

3

fi讨论

E1A1→∞,E1A1→0,静不定问题—分析变形关系判断新结点位置。从新结点向原杆做垂线。垂足与原结点间的距离为各干的变形（伸长、缩短）静不定结构特点（1）内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？静不定结构的特点(1)FABDa

aFABCD32

1a

a静不定：内力按刚度比分配“能者多劳”静定：内力与刚度比无关注意事项内力假设与变形假设一致!yxFFN3FN1aFN2aAE

A2

2BCDa

al2l1l

=

l3

21

E1A13

E3A3

=E2A22A´Dl2ADl3Dl1F内力假设受拉变形假设伸长研究平衡研究变形静不定结构的特点(2)———装配应力静定结构——无装配应力静不定结构——？！ABDABCD32

1a

aAδlα

α123BCD已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力解题思路：因制造误差，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。⊿l1一次静不定问题。几何方程：⊿l1＋

⊿l2

/

cosα

=

δ物理方程？胡克定律！平衡方程：内力不可任意假设。⊿l2A'AFN1FN2FN3AFN1FN2FN31杆伸长，应为拉力，2，3杆缩短

,

应为压力。装配应力是不容忽视的，如：

δ/l=0.001,

E=200GPa,

α=30°—— σ1

=

113

MPa

，

σ2

= σ3

=

－65.2

MPa正确不正确Aδlα

α123BCD⊿l1⊿l2A'静不定结构的特点(3)———温度应力ABCDa

aT

CABDa

aT

C静不定结构：有温度内力静定结构：

无温度内力EADl

=

alDt

+

FN

l

=

0思路：温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。几何方程：⊿l

=

⊿lt＋

⊿lF

=

0物理方程：⊿lt

=αl

⊿tAlBs

=

FN

=

-aEDtAEAF=

FN

lDl例题：OAB杆视为刚性，1，2两杆相同，已知:EA,l,a,Dt

,α求：温度变化引起1，2杆的内力。解：1.判断：一次静不定。几何方程：

⊿l2

=

2

⊿l1平衡方程：

∑MO=0

, FN1

a

+

FN2

2a

=

0FN1

=

-

2

FN2la

aAO12laOA’⊿l1B⊿l2B’FN1AaFN2BEA1Dl

=

a

l

Dt

+

FN

1

l⊿l2

=

2

⊿l14.物理方程：laaABO12B’A’⊿l1⊿l2EA2Dl

=

a

l

Dt+

FN

2

l5.以上方程联解，得：5F

=

1

EAaDtN

2（拉）5N

1F

=-2

EAaDt

（压）总结与思考1.

静不定问题：仅用静力平衡方程不能全部求解原因：未知量数目多于有效平衡方程数目2.

解法：关键：建立几何方程建立物理方程从而可得补充方程BC

DAF3.

特点内力按刚度比