2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第7章第4节空间直线、平面的垂直

窗型童空间直线、平面的垂直

［考试要求］从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空

间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线a'〃a,

b'//b,我们把直线a'与b，所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角0的取值范围：0°＜但90°.

(3)当。=更时，a与8互相垂直，记作a，。.

2.直线与平面垂直

⑴定义：一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线

/与平面a互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理:

⑶直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这

个平面所成的角.

②范围：10°,901

3.二面角

⑴从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱

上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成

的角叫做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的范围：［0",180°］.

4.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个

平面互相垂直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:

文字语言图形语言符号语言

判定如果一个平面过另一个平面的垂线，那—L

9j

定理么这两个平面垂直力

aLB、

两个平面垂直，如果一个平面内有一直aCB=a

性质》

线垂直于这两个平面的交线，那么这条ILa

定理

直线与另一个平面垂直£1J

=>/±a

提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时

要注意“平面内的直线”这一条件.

［常用结论］

直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的佳也蝇―

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直土这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面型£.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

◎激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(2)若a_LQ,a邛0a〃a.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.

()

(4)若平面a内的一条直线垂直于平面厂内的无数条直线，则a邛.

()

［答案］(1)X(2)X⑶X(4)X

二、教材习题衍生

1.(多选)若平面a_L平面/，且。「夕=/,则下列命题中正确的是()

A.平面a内的直线必垂直于平面尸内的任意一条直线

B.平面a内的已知直线必垂直于平面月内的无数条直线

C.平面a内的任一条直线必垂直于平面用

D.过平面a内任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面夕

BD［对于A,如图①，aUa,bu}且0,。与/都不垂直，则a,。不一

定垂直，故A错误；

对于B,如图②，qua,作bLl,则b_La,则夕内所有与b平行的直线都

与a垂直，故B正确；

图①图②

对于C,如图③，aUa,但a与/不垂直，则a与口不垂直，故C错误;

对于D,如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD.

PB

图③图④

2.如图，正方形SGiG2G3中，E,尸分别是G1G2,G2G3的中点，D是EF

的中点，现在沿SE,S尸及E尸把这个正方形折成一个四面体，使Gi,G2,G3

三点重合，重合后的点记为G,则在四面体S-EFG中必有（）

A.SG_LZSEFG所在平面B.SOLaEFG所在平面

C.GFLaSEF所在平面D.GOLaSEF所在平面

A[四面体S-EFG

如图所示：

由SG1GE,SG1GF,

且GECGF=G得,

SGLAEFG所在的平面.

故选A.]

3.如图，在长方体ABCO-AiBGQi中，AB=BC=2,AAi=l,则AG与平

面A\B\C\D\所成角的正弦值为.

|[NAG4为AG与平面所成的角.

因为A8=BC=2,所以4Ci=AC=26,

又A4=l,所以ACi=3,

AA,1

=r=

所以sinZACiAi~Trl^

AC\3

4.在三棱锥P.A8C中，点P在平面ABC上的射影为点0.

⑴若如=尸8=PC,则点。是XABC的心；

(2)若PB1.PC,PCI.PA,则点。是△ABC的心.

(1)外(2)垂［(1)如图①，连接QA,OB,OC,0P,

在Rt^POA,Rt^POB和RtaPOC中，PA=PC=PB,

所以OA=OB=OC,

即。为△ABC的外心.

图①图②

(2)如图②，延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点、H,D,G.

VPC±PA,PBLPC,图CPB=P,PA,P3U平面93,

，PCJ_平面%8,又ABU平面出3,：.PCLAB.

'：ABLPO,POCPC=P,PO,PCU平面PGC,

...A3,平面PGC,又CGU平面PGC,

.".ABICG,即CG为△ABC边AB上的高.

同理可证BO,AH分别为△ABC边AC,8c上的高，

即0为△ABC的垂心.］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一直线与平面垂直的判定与性质《师生共研

［典例1］如图，在四棱锥尸-ABC。中，B4_L底面ABCD,A8_LAO,AC，C。，

ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明：

⑴C"AE；

(2)PO,平面ABE.

［证明］(1)在四棱锥P-ABCD中,

,.•朋，底面ABC。，COU平面ABC。，

：.PA±CD,

又•.•ACLCO,且9CAC=A,

.•.CD，平面PAC.

又AEU平面%C,ACD±AE.

(2)由R1=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=RL

是PC的中点，：.AE±PC.

由(1)知AE_LC£>,且PCCCD=C,

，AE，平面PCD.又POU平面PC。，：.AE1PD.

•.,巩，底面ABC。，ABU平面ABC。，J.PALAB.

又'.'ABI.AO,且%CAO=A,

平面B4O,又POU平面融。，

：.AB±PD.

又平面ABE.

命反思领悟判定线面垂直的四种方法

今［利用线面垂直的判定定理：

行高、；司露二至工书或手庙二床看一,百金聂加前

二:一条也与这个平面垂直”：

行于、.1利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，，

及冷三2：则与另一个也垂直”：

今;利用面面垂直的性质定理：

［跟进训练］

1.如图，在直三棱柱ABC-AiBCi中，AC=BC=l,NAC8=90°,。是

的中点，E在8Bi上.

⑵在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB_L平面GDF?并证明

你的结论.

①b为BBi的中点；②4囱=小；③

I解］(1)证明：•.•45GABG是直三棱柱，AC=BC=\,ZACB=90°,

.•.AICI=BICI=1,且NAGBi=90".

又。是A1B1的中点，

C\DVA\B\.

平面AiBiCi,CiDU平面4BC1,

'.AA\LC\D,又ABCA4i=Ai,

.•.GO,平面AA\B\B.

⑵选①③能证明平面C\DF.

如图，连接。/，AiB,

：.DF//AiB,

在△ABC中，AC=BC=l,

ZACB=90°,则A3=隹

又A4I=6，

则：.DFLAB\.

•.,GO,平面AAiBB,ABiU平面

：.GD±ABi.

，：DFQC\D=D,.•.ABi，平面GQF.

考点二平面与平面垂直的判定与性质《师生共研

［典例2］在矩形A8CD中，AB=2AD=4,E是AB的中点，沿DE将△ADE

折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE.

⑴若平面PDEL平面BCDE,求四棱锥P-BCDE的体积；

(2)若PB=PC,求证：平面PDE1.平面8CDE.

［解］(1)如图所示，取OE的中点M,连接PM,

由题意知，PD=PE,：.PM^DE,

又平面PDEL平面BCDE,平面PDEA平面BCDE=DE,

PMU平面PDE,

PML平面BCDE,即PM为四棱锥P-BCDE的高.

在等腰直角三角形PDE中，PE=PD=AD=2,

PM=^DE=-\［2,

而梯形BCDE的面积5=^(BE+C£>)BC=1x(2+4)X2=6,

四棱锥P-BCDE的体积V=|PM-5=|XV2X6=2^2.

(2)证明：取的中点N,连接PN,MN,则BCLMN,

'：PB=PC,：.BC±PN,

MNnPN=N,MN,PNU平面PMN,：.BC,平面PMN,

•:PMU平面PMN,：.BC1PM,由(1)知，PMIDE,

又BC,DEU平面BCDE,且BC与DE是相交的，

平面BCDE,

PMU平面PDE,平面PDEA.平面BCDE.

令反思领悟证明面面垂直的两种方法

利用面面垂"的定义，即M定两平面所成：

的二面角为直二面角，将证明面面垂直问:

题转化为证明平面角为直角的问题

利用面面垂直的判定定理，即证明其中一：

个平面经过另一个平面的一条垂线，把问：

题转化成证明线线垂直加以解决：

［跟进训练］

2.如图，在三棱锥V-A8C中，平面必1B_L平面ABC,为等边三角形,

AC1BC,且AC=BC=啦，O,M分别为AB,四的中点.

(1)求证：平面MOCJ_平面38；

(2)求三棱锥的高.

［解］(1)证明：因为AC=BC,。为AB的中点,

所以OCLAB.

因为平面以B_L平面ABC,平面%平面ABC=AB,OCU平面ABC,

所以OCL平面VAB.

因为OCU平面MOC,

所以平面MOC,平面VAB.

(2)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=市,

所以AB=2,OC=1,

所以等边三角形VAB的面积为X22Xsin60°=73-

又因为OC，平面VAB,所以OC上OM.

在△AMC中，AM=1,AC=y［2,MC=y［2,

所以S/\AMC=1X1*2=4，

币

所以S△侬C=2SAMAC=2-

由三棱锥B-VAC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，

所口,—叵红一通

所以亚-7，

2

即三棱锥人以。的高为呼1

考点三平行与垂直的综合问题《师生共研

［典例3］如图，在四棱锥P-A3CD中，底面A3CO为矩形，平面出。，平

ffiABCD,PA±PD,PA=PD,E,尸分别为A。，PB的中点.求证：

(1)PE±BC；

⑵平面平面PCD；

(3)石/〃平面PCD.

［证明］(1)因为附=P。，E为AD的中点,

所以PELAD.

因为底面ABC。为矩形，所以8C〃AO.

所以PEA.BC.

(2)因为底面A3CZ)为矩形，所以ABLAO.

又因为平面外。_1_平面ABCD,平面RLDC平面ABCD=AD,ABU平面

ABCD,所以43,平面见。.

又PQU平面雨。，所以A8LP。.

又因为用，PD,且用CAB=A,

所以PD_L平面出8.又POU平面PCD,

所以平面山8,