高数课件面积表示为定积分步骤如下

A=lfi

i

f(xi)Dxi

af(b若用DAb素则ADA，并取DAfx)dx，于是Afx)素

y=fA=

f(x)dx

baf(b

xx+b

y=f(oaxx+db（1）U是与变量x的变化区间有关的量；（2）U对于区间,具有可加性，就是说，如果把区间,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量DUi的值f(xi)DxibbU=lim

f(x)dx=

f(

y=f(1）选取一个变量x（或y）确定它的变化区间[ab]2）设想[ab]分成n个小区间，计算U在xx

axx+dbdx]的值DUfx)×dxfx)dx称为量U的素且记作dU，即dUf3）写出所求量U的定积分：U

bfx)dxa1解(1)画图1yy=

x,下=f下(x)=x2yyyS=y0

-y2 解(1)画图

问：是否只可以选y 2x2x2xS=0 - ))dx+2 -x-42x2x2xx=f(t)一般：若曲线yyt

A=x

xi=f(ti

t2y(t

(t)

为yroRxr˛为yroRxRA=02R

DS≈圆扇形面积=1r2dq=1q bS=b

dS

b1q2解解例5求双纽线r =a2cos2q所围平面图形的面积解由对称性知总面积A=4倍第一象限部分面积Ar2=a2Ar2=a2cosp[a,b]=[0,4pA= acos

=a2

用圆柱体的体积p[f(x)]2dx作为切片体,例6连接坐标原点O及点P(hr)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、解解dV= p[f(y)]d2y类似地，如果旋转体是由连续曲线xfy)、ycydyyy转一周而成的立体，体积 dV=

p[f(y)]2

co

x=f(xVdcf(y)]2Vdcf(y)]2=6p3a3=6p3a3dV=p[f(y)]2d

bVx=

y|x1(y)-x2(y)|

1任y˛[0,1]取横条

y=x

x=y2体积元——薄圆 yyyy

-y2

x2=00=3

-y2

bbyfx)、直线xa、xb及x轴所围曲边梯形绕y轴旋转而成的立体，体积为：bbVy=

x|f(x)|

一般：

x|y1(x)-y2(x)| Vy= x|f(x)|= a(t-sint)a(1-cost)d[a(t-sint=2pa32p(t-sint)(1-cost)2dt=6p3a3 PQM34求由曲线y4x2及y0所围成的图形绕直线xPQM3y,y˛[0,4]dV=[pPM2-pQM2=[p(3+4-y)2-p(3=12p4-4

4-y)2\V=

4-ydy=

y=f(x)

解例14求 例1电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产解在点x处因为V=xS,提示：由物理学知道解在点x处因为V=xS,例3一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3m桶内盛作x轴如图mg=ρvg=98ppxdx882p

F= 解取坐标系如图压力元素为：dFdpSdhS

R2-x2RF=R

R2-x2.例5求长度为l、线密度为r的均匀细直棒对其中垂线上.解取坐标系如图由对称性知, 1ny1y2Lyn

y的定义如下：1)将[a,b]n等分，每个区间长度 =b-a n12)记分点ax0x1<Lxnn1则y

f(xi)

nb-n

f(xibn1bn1nfi¥＝limnfi

b-

f(xi

b-a

f(x)dx例：求y=a2x2[-aa]y= 2a-

a2-x2=11pa2=1pa2a2

bb-ab

f