大学物理功和能课件讲义

力的空间累积效应功和能第4章4.1力的功动能定理abθdr元功功（变力作用曲线运动）一、力的功直角坐标系中功的表达式:（微元分析法）取微元过程，再求和解：[例]质点在力作用下沿X轴正方向运动，则从x=1m运动到x=2m的过程中，力做的功A=.[例]如图,质点沿圆周运动,作用力(k为常量),则从原点O运动到A(0,2R)的过程中,力做的功为.XYＯＡ解：讨论摩擦力作功一定是负的吗？2）功是过程量，作功的多少与路径有关1）功是标量,其正负取决于与的夹角

3）恒力的功等于力与位移的乘积

4）合力的功:

(1)对质点合力的功等于各力作功之和。代数和!(2)对质点系:各力作功之和各质点的元位移不同合力作功不等于

一对内力作功之和：

系统中任意两质点m1、m2的相互作用力质点1相对质点2的元位移质点1受质点2的力一对内力的功等于一个力与相对位移的点积、(作用力－反作用力)中学已使用过这个结论。如：一对正压力的功一对滑动摩擦力作功＜0中学熟知的例子两质点间的“一对力”做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点移动的路径所做的功。二、功率——反映作功快慢程度的物理量平均功率：瞬时功率：单位：瓦特（W）当力和速度的方向一致时：例4.1

如图，水平桌面上有质点m

，桌面的摩擦系数为μ,

求两种情况下从a到b摩擦力作的功:1）沿圆弧；2）沿直径。解：并非恒力，其方向在变化，讨论：

1）是负功；

注意负号的来源。2）摩擦力作功与路径有关。解:例4.2质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿

x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。三、质点运动的动能定理思路：与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由

牛顿第二定律出发。牛顿力学中定义质点动能为由：元功牛Ⅱ◆标量◆状态量质点的动能定理合力的功质点动能的增量质点的动能定理四、质点系的动能定理思考：为什么内力之和一定为零，而内力作功之和不一定为零呢？合力的功质点动能的增量对第i质点：所有外力做的功所有内力做的功系统总动能的增量求和：(动能定理)Note:内力不改变系统总动量，但改变系统总动能！四、质点系的动能定理内力之和一定为零，而内力作功之和不一定为零1）内力也能改变系统的总动能

2）质点系的三个运动定理各司其职动量定理角动量定理动能定理讨论3）动能是状态量而功是过程量，由状态量的变化求过程量可以简化计算。4）动能定理只适用于惯性系，并且功和动能的计算必须统一到同一惯性系。

例4.3在光滑的水平桌面上固定有如图所示的半圆形屏障，质量为m的滑块以初速v0沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，求当滑块从屏障另一端滑出时摩擦力的功。1.万有引力的功以M处为原点，一、保守力的定义4.2保守力的功势能—与路径无关重力作功地面2.弹簧的恢复力的功小球在x点时，受力则质点从a→b的过程中，弹簧的恢复力作功：l0xoxaxbFab——也与路径无关定义：作功与路径无关，只与始末位置有关的力，称为保守力。保守力的环流为零。所讨论的力的共同特征：作功与路径无关，只与始末(相对)位置有关

具有这种特征的力（严格说是一对力）

称为保守力

证明：=0等价的数学表述：沿任意闭合的相对路径移动一周保守力做功为零．二、势能1.定义

保守力的功，均为系统始末位形函数的差。把这些由位形决定的函数，叫做势能函数(Ep)

。保守力做功的特点——与路径无关弹性力的功——保守力的功等于系统势能的减少任一状态的势能值？若选末态为势能零点，即令即为系统在状态a的势能◆势能零点原则上任意选取；零点改变，则各点势能值随之改变，势能差值与势能零点的选择无关。由功的定义定义:一点处的势能等于保守力从该点到势能零点的线积分值(1)万有引力势能由=EPa－EPb以r→∞时为万有引力势能零点，即令rEP引O由任一状态势能值的定义,可得两物体相距r时的万有引力势能2.力学中常见的势能函数[思考]设则(2)重力势能0hEP以h=0处为重力势能零点，则有EP重（h）

=

mgh(3)弹性势能通常以弹簧原长(x=0)时为弹性势能零点，xEP弹O同样根据任一状态势能值的定义，可得弹簧伸长x

时弹性势能:以弹簧原长(x=0)时为弹性势能零点oxX[思考]设则有关势能的几点说明2、系统引入势能的条件是系统内物体间存在着保守力。对于系统内的非保守力就不能引入势能。

3、保守力所做的功等于系统势能的减少。保守力做正功，系统势能减少；保守力做负功，系统势能增加。系统具有势能，就具有做功的本领。4、由于势能和系统所处的相对位置(相对位移)有关，因而与参照系的选择无关。1、势能属于产生保守力的整个物体系统，不属于某一物体所有。质点质量为m,距地心为r，若选r=4R(R为地球半径)处为势能零点，则质点位于r=2R处时，它与地球(质量为M)所组成的系统的势能为.

解:用万有引力的线积分计算？[思考][例4-6][例4-7]两质点的质量均为m,开始时两者静止，距离为a.在万有引力作用下,两者距离变为b.在此过程中,万有引力做的功A=.解：[思考]两者距离为b时的速率？[例4-8]质量为m的质点在指向圆心的力F=k/r2的作用下，作半径为r的圆周运动，若取Ep=0，则系统的机械能E=.解：牛Ⅱ：于是三、由势能函数求保守力由势能定义有保守力与相应势能的关系：例如弹性势能：一、质点系的功能原理（动能定理的变形）质点系的动能定理机械能二、机械能守恒定律功能原理：外力与非保守内力做功的代数和等于质点系机械能的增量当4.3功能原理

机械能守恒定律说明1、只有保守内力作功，系统的动能和势能可以互相转化，但它们的总和始终保持不变。2、机械能守恒定律只适用于惯性系。3、运用守恒定律解题步骤选系统明过程查受力审条件定状态列方程

例4.4一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处.若摩擦因数为0.050,求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力)已知：h=50m，=0.050，s=500m，求：s=？解:以雪橇、冰道和地球为一系统，代入已知数据有由功能原理得例4.5

一半径为的四分之一圆弧垂直固定于地面上，质量为的小物体从最高点由静止下滑至点处的速度为，求摩擦力所作的功。解：法二：应用质点动能定理求解法一：应用功能原理求解选系统：物体圆轨道地球取点处为重力势能零点，得法三：应用牛二定律，解出摩擦力，然后由功的定义求例4.6一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力。求弹簧的劲度系数。解：以弹簧、小球和地球为一系统，只有保守内力做功系统机械能守恒取图中点为重力势能零点即又所以机械能守恒在体育方面的应用

碰撞的特点：

1、两物体间相互作用时间很短，而碰撞前后，两物体的运动状态变化显著。

2、两物体碰撞时，相互作用的冲力很大，其它外力相对很小，可忽略不计，因此可认为总动量守恒。

碰撞

是指两个或两个以上的物体间的短促作用。4.4碰撞（collision）（五个小球质量全同）一、完全弹性碰撞

（perfectlyelasticcollision）特点：系统的机械能（动能）完全没有损失。两球交换速度轻球反弹重球速度不变，轻球以两倍于重球的速度前进。由动量守恒和机械能守恒：解得讨论二、完全非弹性碰撞（perfectlyinelasticcollision）

特点：碰后两物体以共同速度运动碰撞过程中损失的动能：由动量守恒：解得：机械能不守恒！动量守恒：碰撞定律：

碰撞后两球的分离速度（v2-v1）与碰撞前两球的接近速度（v10-v20）成正比。比值由两球的质料决定。

弹性碰撞：e=1完全非弹性碰撞：e=0非弹性碰撞：0＜e＜1定义:恢复系数三、非弹性碰撞（non-perfectlyelasticcollision）习4.1质量为1kg的钢球，系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳的另一端固定。把绳拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为5kg的钢块作完全弹性碰撞。求碰撞后钢球升高的高度。解：本题分三个过程：第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点：第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒：第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守恒：第三过程：钢球上升。以钢球和地球为系统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。解以上方程，可得代入数据，得习4.2一劈形物体质量为m′,斜面倾角为θ,静止于光滑的水平面上。在它的斜面上有一质量为m的小物体，从高度h处由静止无摩擦地下滑。问当小物体滑到水平面时，劈形物体的速度为多大？解设小物体相对于斜面的下滑速度为相对于地的速度为以两个物体和地球为系统，有机械能守恒：劈形物体的速度为m′v2v′mθ(1)动量的水平分量守恒根据相对运动的速度变换公式可得由以上四式解得(2)(1)(3)(4)v′v2v1θ运动学关系：解：以m1

、m2和弹簧、地球为研究系统，开始时，弹簧被压缩x0，由平衡条件得m2离开地面的条件为:系统机械能守恒习4.3用弹簧连接两个木板m1、m2

，弹簧压缩。求:给m1上加多大的压力能使m2

离开桌面？