可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构

10-3可降阶的高阶微分方程2021/5/91复习1.微分方程的概念微分方程;阶;定解条件.解;通解;特解;分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.的微分方程.3.齐次方程解法：作变量代换2.可分离变量方程的求解方法:2021/5/924.一阶线性齐次微分方程5.一阶线性非齐次微分方程（1）一般式（2）通解公式（1）一般式（2）通解公式解法？2021/5/9310-3可降阶的高阶微分方程高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程.可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低阶的方程来解，这种类型的方程称为可降阶的方程.相应的解法称为降阶法.一般形式：特点：解法：接连积分n次，得通解．2021/5/94解所以原方程通解为2021/5/95特点：不显含未知函数y.解法：代入原方程,得这是一阶微分方程.解代入原方程,得积分两边积分得:2021/5/96解代入原方程分离变量,得积分得对它两端积分,得原方程通解为2021/5/97特点：不显含自变量x.解法：代入原方程,得这是一阶微分方程.解2021/5/98解2021/5/99解分离变量得两端积分,得则得于是有由于所以取正的一支.即2021/5/910由于所以取正的一支.即分离变量并两边积分得从而所求的特解为注意：在求特解的过程中，出现任意常数后，马上用初值条件代入，可以使运算简化.数时，可根据已知条件定出其中一支.当出现几支函确定任意常数，2021/5/911高阶线性微分方程及其通解结构第四节二、n阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构

第十章2021/5/912①式叫二阶线性齐次微分方程①式叫二阶线性非齐次微分方程n

阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.一、二阶线性微分方程的通解结构

二阶线性微分方程的定义2021/5/913回顾:

一阶线性方程齐次通解Y非齐次特解y*二阶线性微分方程①式叫二阶线性齐次微分方程①式叫二阶线性非齐次微分方程2021/5/9141.二阶齐次线性微分方程解的结构:2021/5/915说明:不一定是方程(1)的通解.就是它的通解.为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.2021/5/916定义:例如线性无关.线性相关.特别地：2021/5/917两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:常数思考:相关2021/5/918就是它的通解.推论:2021/5/919证明2.线性非齐次线性微分方程解的结构

推论：2021/5/920说明:只须求它的一个特解和的两个线性无关的特解则的通解为齐次通解Y+非齐次特解y*非齐次通解y=例如,

方程有特解且故方程的通解为又知方程有特解因此的通解为2021/5/921设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和，若而与分别是方程的特解，那么就是原方程的特解.定理4.解的叠加原理定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,

给定

n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解2021/5/922通解是().例1.提示:都是对应齐次方程的解,