二重积分的概念与性质26115

节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题2021/5/91复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题

被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”

（3）如何计算定积分？2021/5/92现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型2021/5/93柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体1．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例2021/5/94类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”解法2021/5/95步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：2021/5/962．求平面薄片的质量⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量分析

=常数时，质量=·，其中为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.2021/5/97两个问题的共性：(1)

解决问题的步骤相同(2)

所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:2021/5/98二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,2021/5/992.【对二重积分定义的说明】(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.代替？不能连续是二重积分存在的充分条件用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点的取法无关(证明略)2021/5/9103.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.几个特殊结果体积的代数和2021/5/911[注]1.重积分与定积分的区别：

重积分中d0,定积分中dx可正可负.2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:2021/5/912性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质2021/5/913性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若在D上特殊地则有比较性质2021/5/914性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义2021/5/915证明以下仅证性质7（中值定理）由估值性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后【得证】2021/5/916比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与x

轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上作业题、课后习题见作业答案解法或有关习题解答例1解Ⅰ解Ⅱ2021/5/917例2解2021/5/918解课后习题例32021/5/919机动被积函数相同,且非负,由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:练习解[提示]

被积函数相同，则比较区域D的大小.2021/5/9202.设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()因0<y<1,故故在D上有提示区域D相同，则比较被积函数的大小2021/5/921D

位于x轴上方的部分为D1,在D上1.设函数在闭区域D上连续,D关于x

轴对称,则则[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.2.若D关于原点对称,(1)(2)D2为y轴右方的部分2021/5/922[例如]在第一象限部分,则有利用对称性简化运算时要特别考虑两方面①被积函数的奇偶性②积分区域的对称性说明2021/5/923二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）[二重积分的比较大小]1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.2021/5/9242021/5/925一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）2021/5/926复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积为

在点x处的平行截面的面积为:

(1)二重积分2021/5/927其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］[X—型区域的特点]

穿过区域且平行于y

轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]2021/5/928(2)［Y－型域］[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.2021/5/929(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2021/5/930(1)若积分区域为X－型域：2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.方法2021/5/931即得公式12021/5/932几点小结定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)

先交下限写后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿线法2021/5/9333.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式22021/5/934(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域.(2)

若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.

(见后续补充例题)(3)

若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域（或Y-型域）[说明]2021/5/9354.【例题部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域2021/5/936例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy2021/5/937法2注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！2021/5/938例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交点2021/5/939法1法2视为X—型域计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！2021/5/940小结以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)2021/5/9415.【简单应用】例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为2021/5/942例5解据二重积分的性质4（几何意义）交点与定积分元素法相同2021/5/9436.【补充】改变二次积分的积分次序例题补例1解2021/5/944随堂练习1.计算其中D

是由直线y=x及抛物线y2

=x所围成.解积不出的积分，无法计算。课本P154

第5题第6题练习2021/5/945解当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析补例2作业:－1

x12021/5/946计算其中D由所围成.令(如图所示)显然,利用对称性与奇偶性补例3分析解课本P154

第3题与积分变量无关补例4与积分变量无关与积分变量无关2021/5/947分部积分法(略).(05/06学年第一学期考试题A卷)化为二次积分,交换积分次序原式=原式补例5解Ⅰ解Ⅱ2021/5/948二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］课本P153

习题10-2练习2021/5/9492021/5/950一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）2021/5/951复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积为

在点x处的平行截面的面积为:

(1)二重积分2021/5/952其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］[X—型区域的特点]

穿过区域且平行于y

轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]2021/5/953(2)［Y－型域］[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.2021/5/954(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2021/5/955(1)若积分区域为X－型域：2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.方法2021/5/956即得公式12021/5/957几点小结定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)

先交下限写后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿线法2021/5/9583.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式22021/5/959(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域.(2)

若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.

(见后续补充例题)(3)

若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域（或Y-型域）[说明]2021/5/9604.【例题部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域2021/5/961例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy2021/5/962法2注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！2021/5/963例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交点2021/5/964法1法2视为X—型域计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！2021/5/965小结以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积