隐零点问题-教师用卷

第第#页,共6页第第5页，共6页令®(x)m,(aVxVl),则E(x)=-e-x(x-2)xlnxVO,/、/、a+1+aInaa+1—ae(x)<®(a)=:<■—又f(1)三，max{f(1),f(x)}<"[i.【解析】(1)求出函数的导数，得到aex-x2=0有解，显然a>0,令m(x)=aex-x2,根据函数的单调性求出a的范围即可；(2)求出函数的导数，令h(x)=aex-x2，根据函数的单调性得到f(x)在(a,1)内有唯一极大值点工0，从而f(x)三maxf(1),f(x0)}，结合函数的单调性，证出0max0结论即可.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题.6.设函数f(x)=ax2-lnx+1(aR)求函数f(x)的单调区间；若函数g(x)=ax2-ex+3，求证：f(x)>g(x)在(0,+w)上恒成立.1【答案】解：(1)函数f(x)=ax2-lnx+1的导数为f'(x)=2ax-「x>0,当a<0时，f(x)<0,f(x)递减;当a>0当a>0时，由f(x)由f(x)则当a<0时，f(x)的减区间为(0,+w),无增区间;当a当a>0时，f(x)的增区间为((2)证明：h(x)=f(x)-g(x)=ax2-lnx+1-(ax2-ex+3)=ex-lnx-2，h(x)的导数为h"(x)=ex4^——,由y=xex-1的导数为y"=(x+1)ex>0,对x>0恒成立，即有函数y=xex-1在x>0上递增，且y>-1.设xex-1=0的根为x0，即有x0ex0=1,(0<xQ<1),则当x>x0时，h"(x)>0,h(x)递增；当0<x<x0时，h"(x)<0,h(x)递减.故当x=x0时，h(x)取得最小值，且为ex0-lnx0-2,即有++x°-2>2^^-2=0,则h(x)>0恒成立，即有f(x)>g(x)在(0,+<»)上恒成立.另解：当x>0时，由ex>x+1,lnx<x-1这两个不等式知,

f(x)-g(x)=ex-lnx-2>x+l-x+l-2=0,即为f(x)>g(x)在(0,+w)上恒成立.【解析】(1)求出f(x)的导数，对a讨论，分a<0时，a>0时，判断导数符号，可得单调性；(2)设h(x)=f(x)-g(x)=ax2-lnx+l-(ax2-ex+3)=ex-lnx-2，求出h(x)的导数为h'(x)=ex-「=d」，判断xex-1在x>0上递增，且y>-1.设xex-1=0的根为x0,即有x0ex0=1,(OVx0V1)，求出h(x)的最小值，判断大于0,即可得证.本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和转化思想的运用，属于中档题.7.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在点(1,f(1))处的切线为3x-y-2=0.求函数f(x)的解析式；若kZ且对任意x>1,都有k<3成立，求k的最大值.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=lnx+1+a,=a+1=3(a=2=a+Z)=l(b=—1f(x)=xlnx+2x-1.可化为kxlnx+2x—1可化为kx—1Axlnx+2x—lM.”、x—2—lnx令9(町=-，则k<g(x)罰，9(尤)=a—歹，x(1,+8)•令h(x)=x-2-lnx，则，二1—'二」0.h(x)在(1,+8)上为增函数.又h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,故存在唯一的x0(3,4)使得h(x0)=0,即x0-2=lnx0.当x(1,x0)时，h(x)<0,g'(x)<0,g(x)在(1,x0)上为减函数；当x(x0，+8)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(x0，+8)上为增函数.XqIttXq+2%q—1%q(%q—2)+2%q—1,k<x0+1.%(3,4),x0+1(4,5),kZ,k的最大值为4.【解析】(1)首先对f(x)求导，求出(1,f(1))点处的切线方程与3x-y-2=0相