【考点】2020年中考考点讲练案：5棋盘摆米问题教师版

专题5.棋盘摆米问题※知识精要棋盘摆米问题是用方程思想解决求和问题。此方法还可以解决循环小数化分数问题。※要点突破解题的关键是根据题意发现规律，再用方程思想解决求和问题。※典例精讲例：棋盘摆米：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国家象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒……一直到第64格。”“你真傻!就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1+2+22+23+L263=（264-1）粒米，264-1到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：18446744073709551615.1解析】TOC\o"1-5"\h\z谩工=1十2十N十F十炉 9①则2x2十/十？三一24 254②②TD得一=2'※课堂精练1.为了求1+2+22+23+L+22016的值，可令S=1+2+22+23+L+22016，贝°2S=2+22+23+L+22017，因此2S-S=22017-1,所以1+2+22+23+L+22016=22017-1,请仿照以上推理计算出1+5+52+53+L+52016的值是（ ）52017—1A.52017-1 B. 452016—1C. D. 52016—14【答案】B【解析】•・•设S=1+5+52+53+...+52016,则5S=5+52+53+...+52016+52017,「.4S=52017-1,~ 52017—1,故选B.2’.求1十2+於+炉+...+2颉7的值，可令$=1+2+2Z+2/…+2费必，则2s=2+22+23+24+.„+22010,因此2f=产J,即£= 仿照以上推理，计算出1+3+3+3+…+3的值为.32019-1［答案］一一【解析】令3=1十3-3士一一十…十之1外贝|］35=34-32-3s--■■+320-9,/.35'-^320-9-1,解得5=J=.jL故答案为二三工3.观察下列运算过程：5=1+3+W+33+…十三白"+宙。%)①乂3得：5=1+34-32+33+■■■+32012+32013@22014_j②-①得：2S=32014-l,5——2—运用上面计算方法计算：l+5+S2+53+-+52O13=.产J［答案］一4一【解析】首先根据已知设ST+5+52+53+…+524+525①，再将其两边同乘5得到关系式②，②-①即可求得答案.设S=l+5+52+53+...+52013①,，则5s=5+52+53+54...+52014②，5*1S- ②-①得：4s=52041,所以S=4 ,5_5*1故答案为：’-「一4.阅读材料：计算31+32+33+34+35+36.解：设8=31+32+33+34+35+36,①则3s=32+33+34+35+36+37,②37-3由②一①，得35—5=37—31,则5=2-3即31+32+33+34+35+36=-.仿照以上解题过程，.计算：51+52+53+54+55+...+52018.5-咚5【答案】【解析】役&=51+52+5工+三二+三+…+，二三①则5g=5,十¥十5n-十邛，②由②—①，得4芯二5二m—5,即5】十乎十5二十54十三十...十三也=七二.5.阅读材料：求1+2+22+23+24+...+22013的值.解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得：2s=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S-S=22014-1即S=22014-1即1+2+22+23+24+...+22013=22014-1请你仿照此法计算：1+2+22+23+24+...+2101+3+32+33+34+...+3n(其中n为正整数).【答案】见解析.【解析】(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,两边乘以2后得到新的等式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；(2)类比题目中的方法即可得到所求式子的值.(1)设S=1+2+22+23+24+...+210,将等式两边同时乘以2得2s=2+22+23+24+...+21。+211,将下式减去上式得：2S-S=211-1,即S=211-1,贝U1+2+22+23+24+...+21。=211-1；(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n①，两边乘以3得：3s=3+32+33+34+…+3n+3n+1②，1②-①得：3S-S=3n+1-1,即S=—(3n+1-1),1贝U1+3+32+33+34+...+3n=—(3n+1-1).6.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的两边都乘以6,得610一16S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②一①得6S—S=610—1,即5S=610—1,所以S=-5—得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母》”（存0且存1）,求1+a+a2+a3+a4+…+a2016的值。a2017一1【答案】:T［解析】谩S=1+<?+层+,+?+…+出口带①,在等式两边同乘以值得a3=胃+排+必+灯+…-班*+加了②,②-①得（十1茹=声旷-1,11111

—+ + + +"■■*■*■+ 7.在数学活动中，小明为了求」二二一 丁的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形.1--【答案】11【解析】方法1.把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两1 1 1个面积为的正方形，再把面积为的正方形分成两个面积为的三角形，…，由图形揭示的规律进行解答即可得.1111 1—++++--,+—=-1所以8.阅读理解题：你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法.（1）阅读下列材料：•问题：利用一元一次方程将0.7化成分数.设0.7=x由0.7=0.777LL，可知10*0.7=7.777L=7+0.7即7+x=10x.（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）7 77可解得x=9,即0.7=9填空：将0.4直接写成分数形式为.（2）请仿照上述方法把小数0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程4【答案】（1）9（2）见解析【解析】Cl）根据0一7转化分数的方法，设0-4 仿照例题的解法即可得出结论；C2）①根据。一7转化分数的方法.设。一七=/仿照例题的解法O1。换成对加）即可得出结论Ci>设0.4=x.方程两边都乘以10,可得10x0.4=10x.由0.4=0.44