中考数学二轮复习第14讲 圆（压轴题组）（教师版）

第14讲圆（压轴题组）1．（2021·浙江省宁波市实验学校九年级期中）给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0【详解】（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+∠3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，∴∠B与∠C的度数之和为120°；（2）证明：在△BED与△BEO中，SKIPIF1<0，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BEO，∵∠BOE＝2∠BCF，∴∠BDE＝2∠BCF连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，∴四边形DBCF是倍对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是倍对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝SKIPIF1<0BO＝SKIPIF1<0BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵4DH＝3BG，BG＝2HG，∴DG＝SKIPIF1<0GH，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）已知，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，SKIPIF1<0．（1）如图1，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，过点C作SKIPIF1<0于点F，交BD于点G，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求OH的长．【答案】

（1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH=SKIPIF1<0．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠ABC，∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，∴SKIPIF1<0；（2）证明：过点C作CN⊥DB，交BD于N，交SKIPIF1<0于M，∵SKIPIF1<0∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，∴∠MCB=∠DBC=45°，∴MB∵AB=AC，∴SKIPIF1<0∴AD∴∠ACM=∠DBA∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，在△CEN和△CGN中SKIPIF1<0∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE=CG;

（3）解：过C作CP//AH交BD于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，∵E为AC中点，OE为弦心距，∴OE⊥AC，∵AB=AC，∴OE=OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ=BQ，点H在AQ上，∴CH=BH，∵∠DBC=45°，∴∠HCB=∠DBC=45°，∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，∴CH⊥BD，∵CE=CG，∴EH=GH=3，∵CP//AH，∴∠PCE=∠HAE，在△PCE和△HAE中，SKIPIF1<0，∴△PCE≌△HAE（AAS），∴PE=HE=3，∵PE=HE，CE=AE，∴四边形PAHC为平行四边形，∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，∴∠PHA=∠QHB=45°，∵∠APH=90°，∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°，∴∠PAH=∠PHA=45°，∴△APH为等腰直角三角形，∵PH=PE+EH=6，∴AP=PH=6，在Rt△PAH中，AH=SKIPIF1<0∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=SKIPIF1<0，∴CQ=BQ=SKIPIF1<0，在Rt△EHC中EC=SKIPIF1<0，∴AC=2CE=SKIPIF1<0，AE=CE=SKIPIF1<0，在Rt△ACQ中AQ=SKIPIF1<0，∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90°∴△AEO∽△AQC，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得AO=SKIPIF1<0，OH=AH-AO=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0．

3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AC、BD相交于点E．（1）如图①，若CD∥AB，求证：AC＝BD；（2）如图②，若AD＝6，BC＝8，∠AEB＝90°，求圆O的半径；（3）如图③，若AD＝4，BC＝6，∠AED＝60°，求圆O的半径；【答案】（1）见解析；（2）5；（3）SKIPIF1<0【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴∠ACD=∠CAB，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAC，又∵∠ADB=∠BCA，AB=BA，∴△ADB≌△BCA（AAS），∴AC=BD；（2）如图所示，连接AO并延长与圆O交于F，连接DF，∴∠ADF=90°，∵∠AEB＝90°，∴∠AED=∠BEC=∠AEB=90°，又∵∠DAE=∠CBE，∴△DAE∽△CBE，∴SKIPIF1<0，∵∠AEB=∠ADF=90°，∠ABD=∠AFD，∴△ABE∽△AFD，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴圆O的半径为5；（3）如图所示，过点B作SKIPIF1<0交圆O于G，连接DO并延长与圆O交于F，连接GF，连接GA，过点D作DH⊥GA交GA延长线于H，∵SKIPIF1<0，∴∠DBG=∠AED=60°，∠CAB=∠ABG，∴AG=BC=6，又∵∠GFD=∠DBG，∴∠GFD=60°，∵DF是圆的直径，∴∠DGF=90°，∴∠GDF=30°，∴DF=2GF，∴SKIPIF1<0，∵四边形AGFD是圆内接四边形，∴∠DAG+∠DFG=180°，又∵∠DAG+∠DAH=180°，∴∠DAH=∠DFG=60°，∵∠DHA=90°，∴∠ADH=30°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴圆O的半径为SKIPIF1<0．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）⊙M的半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；（3）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【详解】解：（1）∵抛物线SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则抛物线的解析式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）如图1，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点的坐标为SKIPIF1<0，∵三角形外心为三边中垂线交点，∴设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故⊙M的半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；（3）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的函数解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的函数解析式为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0三点构成的三角形与△ABC相似，则△ACB∽△PQB或△ACB∽△QPB，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当△ACB∽△PQB时，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0是所列方程的解，则此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；②当△ACB∽△QPB时，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0是所列方程的解，则此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；综上，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．5．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）在图1至图3中，⊙O的直径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切⊙O于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交⊙O于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0．（1）如图1，当点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离最小时，求SKIPIF1<0的长；（2）如图2，若射线SKIPIF1<0过圆心SKIPIF1<0，交⊙O于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如图3，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【详解】（1）如图，SKIPIF1<0⊙O的直径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切⊙O于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在Rt△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直径SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据点到直线的距离垂线段最短，即可知当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离最小，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是⊙O的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（负值舍去）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）如图，以SKIPIF1<0为直径作⊙G，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，Rt△BDC中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在⊙G上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0最小此时，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．6．（2021·江苏溧阳·九年级期中）概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d（T－⊙O）．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：（1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d（T－⊙A）＝2，则AB＝________．（2）如图2，在平面直角坐标系中，以O（0，0）为圆心，半径为2作圆．①将点C（4，3）记为图形T，则d（T－⊙0）＝_________．②将一次函数y＝kx＋2SKIPIF1<0的图记为图形T，若d（T－⊙）＞0，求k的取值范围．推广运用：（3）在平面直角坐标系中，P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），将△DOE记为图形T，若d（T－P）＝1，则t＝___________．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①3；②SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【详解】解：（1）如图1中，∵d（T－⊙A）=2，∴CB＝CB′＝2，∵AC＝5，∴AB′＝3，AB＝7．故答案为：3或7．（2）①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C（4，3），∴OC＝SKIPIF1<0，∵OE＝2，∴EC＝3，∴d（T－⊙O）＝3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+2SKIPIF1<0与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=2√2，OE=OK=2，∴DK＝SKIPIF1<0，DE=SKIPIF1<0，∴DE＝OE＝DK＝OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO＝∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE＝∠ODK＝45°，∴直线DE的解析式为y＝－x+2SKIPIF1<0，直线DK的解析式为y＝x+2SKIPIF1<0，∵d（T－⊙O）＞0，∴观察图象可知满足条件的k的值为－1＜k＜1且k≠0．（3）∵D、E两点的坐标分别为（5，5）、（5，－5），设DE与x轴相交于点N，∴ON=5，∵P的坐标为（t，0），⊙P的半径为2，且d（T－P）＝1，∴点P不可能在△DOE内部．则点P可分别在△DOE左侧和右侧两种情况：①如图3-1中，当点P在△DOE左侧时，⊙P交x轴于M，∴PM＝2，∵d（T－⊙P）＝1，∴OP＝3，∴t＝－3．②如图3-2中，当点P在△DOE的右侧时，∵d（T－⊙P）＝1，ON＝5，即MN＝1，∴OM＝6，∵PM＝2，∴OP＝6，∴t＝8．综上所述，满足条件的t的值为－3或8．7．（2021·湖北·宜昌市第三中学九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0组成⊙O的一条折弦．SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．可以通过延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0组成⊙O的一条折弦，若SKIPIF1<0是优弧SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0，理由见解析【详解】证明：（1）如图1，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如图2，延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆内接四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．8．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（-3，0）．（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是3，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．①若点P在x轴正半轴上，则点P的坐标是；②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；（2）设点M（m，0），以点M为圆心，MA长为半径作⊙M，一次函数y＝SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙M的“倍距点”，请你直接写出m的值．【答案】（1）①（9，0）；②点P（6，SKIPIF1<0）；（2）m=SKIPIF1<0．【详解】解：（1）①∵点P在x轴正半轴上，AP交⊙O于Q，∴AQ为⊙O的直径，AQ=2OA=6，∴AP=2AQ=12，∴OP=AP-OA=12-3=9，∴点P（9，0），故答案为（9，0）；②AP交⊙O于Q，设⊙O于x轴交于B，连结QB，过P作PC⊥x轴于C，∵AB=6，∠PAO=30°，∴AQ=ABcos30°=6×SKIPIF1<0，∴AP=2AQ=SKIPIF1<0，∴PC=AP·sin30°=SKIPIF1<0，AC=AP·cos30°=SKIPIF1<0，∴OC=AC-AO=9-3=6，∴点P（6，SKIPIF1<0）；（2）过点M作MG⊥AQ于G，一次函数y＝SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0的图象分别与x轴、y轴交于D、E，当x=0时，y=SKIPIF1<0，点E（0，SKIPIF1<0），当y=0时，SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0=0，解得x=-6，点D（-6，0），∵tan∠EDO=SKIPIF1<0，∴∠EDO=30°，当AP⊥DE时，AP长唯一，AP=AD×sin30°=[-3-（-6）]SKIPIF1<0，∵AP=2AQ，∴AQ=SKIPIF1<0，∵AQ为弦，AG⊥AQ，∴AG=QG=SKIPIF1<0，∵AP⊥DE，MG⊥AP，∴MG∥DE，∴∠GMA=∠EDO=30°，∴MA=2AG=SKIPIF1<0，点M在点A左侧AP与⊙M有交点，∴-3-m=SKIPIF1<0，∴m=SKIPIF1<0．9．（2021·浙江·宁波东海实验学校九年级期中）（提出问题）如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（特殊位置探究）（1）当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；（一般规律探究）（2）如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，SKIPIF1<0y．①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式；（解决问题）（3）当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比．（直接写出答案）【答案】(1)tan∠PSKIPIF1<0，AQ＝8；(2)①答案见解析，②ySKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【详解】解：(1)连接OD，∵直径AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，∴DE=SKIPIF1<0CD=4，OD=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴AE=OA+OE=5+3=8，∵DP=2，∴PE=PD+DE=2+4=6，∴tan∠P=SKIPIF1<0，连接BQ，则∠AQB=90°，∵SKIPIF1<0在RT△ABQ中，AQ＝ABcos∠BAQ=SKIPIF1<0=10×SKIPIF1<0=8．(2)①证明：连接BQ，AC，∵SKIPIF1<0，∴∠ACQ=∠ABQ，∵AB为直径，∴∠QAB+∠ABQ=90°，∴AB⊥CP，∴∠P+∠BAP=90°，∴∠ACQ=∠CPA．②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，∵AB为直径，∴∠ACB=∠NAC=90°，∴BC∥AN，∴△FCB∽△FNA，∴SKIPIF1<0，∵AB⊥CD，AE=8，CE=4，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，tan∠P=SKIPIF1<0，∵DP=x，SKIPIF1<0∴y=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)当OF=1时，F在O的右边时，AF=6；当F在O的左边时，AF=4．当AF=6时，则BF=4，∴y=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0解得x=SKIPIF1<0．经检验：SKIPIF1<0是原方程的根且符合题意．如图，连接QD，∵四边形ACDQ为⊙O的内接四边形，∵∠ACQ=∠P，∠CAQ=∠PDQ，∴△PDQ∽△CAQ．∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴