中考数学二轮复习重难点复习题型06 几何最值（复习讲义）（解析版）

题型六几何最值（复习讲义）【考点总结|典例分析】解决几何最值问题的理论依据有：①两点之间线段最短；②垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.根据不同特征转化从而减少变量是解决最值问题的关键，直接套用基本模型是解决几何最值问题的高效手段.动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中.其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.考点01胡不归胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA+SKIPIF1<0PB”的形式（SKIPIF1<0<1），若SKIPIF1<0>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=SKIPIF1<03、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使SKIPIF1<0的值最小．SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．1.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是()【答案】B【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=SKIPIF1<0=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2SKIPIF1<0或-2SKIPIF1<0（舍弃），∴BE=2a=4SKIPIF1<0，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4SKIPIF1<0（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴SKIPIF1<0，∴DH=SKIPIF1<0BD，∴CD+SKIPIF1<0BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+SKIPIF1<0BD≥4SKIPIF1<0，∴CD+SKIPIF1<0BD的最小值为4SKIPIF1<0．故选B．考点02阿氏圆“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB∽△CAP推出PA2SKIPIF1<0，即：半径的平方=原有线段构造线段。【模型展示】如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则SKIPIF1<0．证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，SKIPIF1<0，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，SKIPIF1<0，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．1.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=SKIPIF1<0，故求SKIPIF1<0最小值即可．考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造SKIPIF1<0，条件已经足够明显．当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在SKIPIF1<0．问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．2.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造SKIPIF1<0，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=SKIPIF1<0，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．考点03费马点费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！1.如图，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转60°得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，可推出结论：SKIPIF1<0问题解决：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0三个顶点的距离和的最小值是___________【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，显然△MOP为等边三角形，∴，OM＋OG＝OP＋PQ，∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，∵MQ＝MG＝4SKIPIF1<0，∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，∴NQ＝SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.2、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为SKIPIF1<0时，求正方形的边长.【答案】（1）△AMB≌△ENB，证明略。（2）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，图略（3）SKIPIF1<0【解析】解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，FFEADBCNMAM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝SKIPIF1<0x，EF＝SKIPIF1<0.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（SKIPIF1<0）2＋（SKIPIF1<0x＋x）2＝SKIPIF1<0解得，x＝SKIPIF1<0（舍去负值）.∴正方形的边长为SKIPIF1<0考点04瓜豆原理动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;=1\*GB3①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形=2\*GB3②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．1.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是_____．【答案】SKIPIF1<0.【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DESKIPIF1<02SKIPIF1<0，∴B'D=2SKIPIF1<02．故答案为2SKIPIF1<02．2.如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE．

（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠A=60°，

∴点E的运动轨迹是直线BE，

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，

此时CD=CE=CF，

∵∠ACB=∠CBE=60°，

∴AC∥EF，

∵AF⊥BE，

∴AF⊥AC，在Rt△ACF中，

∴CF=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴CD=CF=SKIPIF1<0.考点05将军饮马1.两定（异侧），一动2.两定（同侧），一动3.一定，两动4.两动，两动知识提炼：折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题1.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝SKIPIF1<0S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．【答案】241【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB＝13S矩形ABCD∴12AB•h＝13AB•∴h＝23AD∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝AB2+AE2＝即PA+PB的最小值为241．故答案为：241．2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【答案】∠ECF＝30º【解析】解：过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：∵AC＝4，AE＝2，