中考数学二轮复习重难点复习题型05 圆的相关证明与计算（复习讲义）（解析版）

题型五圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先证明SKIPIF1<0再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】解：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝SKIPIF1<0，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB＝SKIPIF1<0，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．3.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．4.如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的长度最小时，SKIPIF1<0的面积是（）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0长度一定，则点P的运动轨迹是以SKIPIF1<0中点O为圆心，SKIPIF1<0长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在SKIPIF1<0中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到SKIPIF1<0是等边三角形，利用特殊SKIPIF1<0三边关系即可求解．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中点O，并以O为圆心，SKIPIF1<0长为半径画圆由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0点P是BO的中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等边三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．5.如图，已知在⊙O中，SKIPIF1<0，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据SKIPIF1<0得到BC=CD，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD，∵SKIPIF1<0，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）连接CD，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠CBF，∵SKIPIF1<0，∴BC=CD，∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，∴四边形BCDE是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．6.如图，A，B是SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，连接OB并延长到点C，使SKIPIF1<0，连接AC．（1）求证：AC是SKIPIF1<0的切线．（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交SKIPIF1<0于点F，G，SKIPIF1<0，求GF的长．【答案】（1）见解析；（2）2SKIPIF1<0【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=SKIPIF1<0，根据含30°的直角三角形的性质得出DN=SKIPIF1<0，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∵D、E分别为AC、OA的中点，∴OE//BC，DC=SKIPIF1<0过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N则四边形OMDN为矩形∴DN=OM在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=SKIPIF1<0DC=SKIPIF1<0∴OM=SKIPIF1<0连接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．7.如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以点C为圆心，SKIPIF1<0为半径作SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点E，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）利用SAS证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得证；（2）由已知条件可得SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0；【详解】（1）∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知识是解本题的关键．8.如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直径，弦SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0并延长交直径SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0的半径为8，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；（2）由SKIPIF1<0证得SKIPIF1<0，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是SKIPIF1<0的半径∴EF是圆的切线，（2）∵CD⊥AB∴SKIPIF1<0是直角三角形∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由勾股定理得，SKIPIF1<0由（1）得，SKIPIF1<0是直角三角形∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．9.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．（1）求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；（2）若SKIPIF1<0的直径是10，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）连接OD，由点D是SKIPIF1<0的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图，∵点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是SKIPIF1<0的半径∴直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；（2）∵AC是SKIPIF1<0的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，SKIPIF1<0∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//ABSKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由勾股定理得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．10.如图，已知点SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的圆上一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据已知条件证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得解；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根据正切的定义列式求解即可；【详解】解：（1）证明：连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，结合相似三角形的判定与性质、正切的定义求解是解题的关键．11.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BECE【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BCAC=tan∠设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BCAC∵AD＝8，∴CD＝4．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CEAC【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴AC=∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC∴CE6∴CE＝3.6，∵OC=1∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE在Rt△AOP中，OP=62+82由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DBOP即1210∴BC=365，DC∴OE=185，CE在Rt△AEC中，AC=A14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，∵AC=∴∠BOD=13×180°∵CD=∴∠EAD＝∠DAB=12∠∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=1∴AD=62−15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的