高考调研2016届高三新课标数学文一轮复习课件单元测试第五章平面向量与复数6份5专题研究

专题研究平面向量的综合应用专题讲解课外阅读题组层级快练专题讲解题型一向量与平面几何例1

已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为

．方法二：(基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A，∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C＝9－|A→P||A→C|cos∠BAC＝9－3|A→P|cos∠BAC.∵cos∠BAC为正且为定值，∴当|A→P|最小即|A→P|＝0时，C→P·(B→A－B→C)取得最大值9.【答案】

9探究1

平面几何问题的向量解法．坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．思考题1(1)(2014·山东理)在△ABC中，已知πA→B·A→C＝tanA，当A＝6时，△ABC的面积为

．【解析】

根据平面向量数量积的概念得A→B

·

A→C

＝|

A→B|·|

A→C

|cosA，当A＝

π

时，根据已知可得|

A→B

|·|

A→C

|＝

2

，故△6

3→ABC的面积为1

AB|·→

|AC|sin

＝2|

6

6π

1.【答案】16(2)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，B→C

＝|A→D|＝1，则A→C·A→D＝(

)3

B→D

，A．2

3B.

32C.

33D.

3【解析】A→C·A→D＝(A→B＋B→C)·A→D＝A→B·A→D＋B→C·A→D＝B→C·A→D＝

3

B→D·A→D＝

3|B→D||A→D|cos∠BDA＝

3|A→D|2＝

3.【答案】

D

题型二向量与三角函数例2

已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．

(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos(C－3B2)取最大值时，B的大小．【思路】向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．【解析】(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.∴sin2A＝3

sinA＝

34，∴

2

.∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.2(2)y＝2sin2B＋cos(C－3B)2＝2sin

B＋cos(180°－B－A－3B2)＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1

1

3－2cos2B＋

2

sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.【答案】

(1)60°

(2)B＝60°，ymax＝2探究2

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．思考题2(2015·河南中原名校联考)在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为对应的三条边，π3<C<π2，且b

sin2Ca－b

sinA－sin2C＝

.判断△ABC的形状；若|B→A＋B→C|＝2，求B→A·B→C的取值范围．【解析】

(1)由

b

＝

sin2C

及正弦定理，得a－b

sinA－sin2CsinB＝sin2C.∴B＝2C或B＋2C＝π.π

2π若B＝2C，且π

C<

，则

<B<π，∴B＋C>π(舍去)．3<

2

3若B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|B→A＋B→C|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4.又∵a＝c，∴cosB＝2－a2a2.24而cosB＝－cos2C，1

sB<1，∴1<a

<

.2<co

3由(1)知a＝c，∴B→A·B→C＝a2cosB＝2－a2∈2(3，1)．2【答案】

(1)等腰三角形

(2)(3，1)题型三向量与解析几何例3

已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(P→C＋1P→Q)·(P→C－1

→2

2PQ＝0.求动点P的轨迹方程；若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求P→E·P→F的最小值．【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(P→C＋1

→)·(PC→－1P→Q)＝0，2PQ

24得|P→C|2－1|P→Q|2＝0.1x2

y2即(x－2)2＋y2－4(x－8)2＝0.化简得16＋12＝1.x2

y2所以点P在椭圆上，其方程为16＋12＝1.(2)因为P→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P)＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P)＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1，x2

y2P是椭圆16＋12＝1上的任意一点，设P(x0，y0)，则有0

＋x2

y216

120

＝1，0即x2＝16－4y230.又N(0,1)，→2

20

0所以NP

＝x

＋(y

－12

20

01)

＝－3y

－2y

＋17102＝－3(y

＋3)

＋20.因为y0∈[－2

3，2

3]，所以当y0＝2

3时，N→P2取得最小值(2

3－1)2＝13－4

3(此时x0＝0)．故P→E·P→F的最小值为12－4

3.【答案】x2

y2(1)16＋12＝1

(2)12－4

3探究3

向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．思考题3x2

y2若点O和点F分别为椭圆

4

＋

3

＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则O→P

·F→P

的最大值为(A．2C．6)B．3D．8【解析】由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有x2

04＋y2

03＝1，解得20y

＝3(1—x2

040)．因为FP

＝(x

＋10→

→，y

)，

OP

＝→

→(x

，y

)，所以OP·FP＝x

(x220

0

0

0

0

0

0

0＋1)＋y

＝x

＋x

＋3(1－

)＝x2

x2

04

4＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－→

→222≤x0≤2，故当x0＝2时，OP

·FP

取得最大值4

＋2＋3＝6，故选C.【答案】

C课外阅读三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．2．三角形各心的向量表示O

是△ABC

的重心⇔O→A＋O→B＋O→C＝0；O

是△ABC

的垂心⇔O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A；O

是△ABC

的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|(或O→A2＝O→B2＝O→C2)；|AB|A→B

A→C|AC|→

→|BA|B→A

B→C(4)O

是△ABC

的内心⇔OA·(→－→)＝OB·(→－→|BC|→|CA|C→A

C→B|CB|＝OC·(

→

－

→

)＝0.A→B

A→C注意

向量

λ(

→

＋

→

)(λ≠0)所在直线过△ABC

的内|AB|

|AC|心(是∠BAC

的角平分线所在直线)1．将平面向量与三角形外心结合考查例1

若O为△ABC内一点，|

O→A

|＝|

O→B

|＝|

O→C

|，则O是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】

由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.【答案】

B2．将平面向量与三角形垂心结合考查例2

点P是△ABC所在平面上一点，若P→A

·P→B

＝

P→B

·P→C＝P→C·P→A，则点P是△ABC的(

)A．外心C．重心B．内心D．垂心【解析】

由P→A·P→B＝P→B·P→C，得P→A·P→B－P→B·P→C＝0，即P→B·(P→A－P→C)＝0，即P→B·C→A＝0，则PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D.【讲评】本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】

DA→B【解析】

因为

→

是向量AB的单位向量，设AB与AC→

→

→|AB|方向上的单位向量分别为e1和e2，又O→P

－

O→A

＝

A→P，则原式可化为

A→P

＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC，故选B.【答案】

B4．将平面向量与三角形重心结合考查例4

点P是△ABC所在平面内任一点．G是△ABC的重心⇔P→G

1(P→A＋P→B＋P→C)．＝3【证明】

∵P→G＝P→A＋A→G＝P→B＋B→G＝P→C＋C→G，∴3P→G＝(A→G＋B→G＋C→G)＋(P→A＋P→B＋P→C)．∵点G是△ABC的重心，∴G→A＋G→B＋G→C＝0.∴A→G＋B→G＋C→G＝0，即3P→G＝P→A＋P→B＋P→C.1由此得P→G＝

(P→A＋P→B＋P→C)．3反之亦然(证略)．5．将平面向量与三角形四心结合考查例5

已知向量O→P1

，

O→P2

，

O→P3

满足条件O→P1

＋

O→P2

＋O→P3＝0，|O→P1

|＝|O→P2

|＝|O→P3

|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．【证明】由已知条件可得O→P1＋O→P2＝－O→P3，两边平1方，得O→P

·O→P2＝－21.2

3

3同理O→P

·O→P

＝O→P

·O→P11＝－2.∴|P→P

|＝|P→P

|＝|P→P

|＝

3.1

2

2

3

3

1从而△P1P2P3是正三角形．1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．外心B．内心C．重心答案

D

D．垂心2．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝P→C·P→A，则点O，N，P依次是△ABC的(

)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心答案C解析

由|O→A|＝|O→B|＝|O→C|知，O是三角形的外心，排除答案A，B.由N→A＋N→B＋N→C＝0得出N必然为重心．∵P→A·P→B＝P→B·P→C，∴(P→A－P→C)·P→B＝0.∴C→A·P→B＝0，∴CA⊥PB，同理，AP⊥BC.∴P为△ABC的垂心，故选C.3．在△ABC中，若动点P满足C→A2＝C→B2－2A→B·C→P

，则P点轨迹一定通过△ABC的(

)A．外心C．重心答案

A

B．