2024届新高考一轮复习人教A版 第七章 第四讲　空间直线、平面的垂直 学案

第四讲空间直线、平面的垂直知识梳理知识点一直线与平面垂直(1)直线与平面垂直①定义：若直线l与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．②判定与性质判定定理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)垂直于同一平面的两直线平行图形语言符号语言过一点垂直于已知平面的直线_有且只有一条__.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，_垂线段的长度__叫做这个点到该平面的距离．一条直线与一个平面平行时，这条直线上_任意一点到这个平面的距离__，叫做这条直线到这个平面的距离．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．(2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角．若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为eq\f(π,2).②线面角θ的范围：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).知识点二平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．(2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直．②判定与性质判定定理性质定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(线面垂直⇒面面垂直)两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.(面面垂直⇒线面垂直)图形语言符号语言归纳拓展1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体SA．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF[解析]由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A.3．(必修2P152例4)(2022·河南许昌质检)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为AB，BC的中点，则直线MN与平面DCA1所成角的大小为A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)[解析]连AC、AD1，设AD1∩A1D＝H，连HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，∴∠HCA即为MN与平面DCA1所成的角，且sin∠HCA＝eq\f(AH,AC)＝eq\f(1,2).∴MN与平面DCA1所成角为eq\f(π,6).故选A.题组三走向高考4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析]由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2021·全国高考节选)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1，D为棱A1B1证明：BF⊥DE.[证明]证法一：取BC的中点H，连EH、B1H，∵E为AC的中点，∴EH∥AB，又AB∥A1B1，∴EH∥A1B1，即E、H、B1、D共面，又A1B1⊥BF，∴EH⊥BF.又AB＝BC，由题意易知四边形BCC1B1为正方形，又F为CC1的中点，∴BF⊥HB1，又HB1∩EH＝H，∴BF⊥平面EHB1D，又ED⊂平面EHB1D，∴BF⊥ED.证法二：由题意知AB⊥BB1.又BF⊥A1B1，AB∥A1B1，∴AB⊥BF，∴AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BC.又AB＝BC＝2，E、F分别为AC、CC1的中点，∴BE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(3)，BF＝eq\r(5)，A1E＝eq\r(6)，A1F＝3，A1B＝2eq\r(2)，∴A1F2＝A1E2＋EF2，A1B2＝A1E2＋EB2，∴A1E⊥EF，A1E⊥EB，∴A1E⊥平面BEF，从而A1E⊥BF.又A1E∩A1B1＝A1，∴BF⊥平面A1EB1，又ED⊂平面A1EB1，∴BF⊥DE.证法三：同证法二可知AB、BC、BB1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝2，∴E(1,1,0)，B(0,0,0)，F(0,2,1)，D(a,0,2)(0≤a≤2)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(a－1，－1,2)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝0，∴BF⊥DE.考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1(1)(多选题)(2022·湖南名校联考)对于不同直线m，n和不同平面α，β，有如下四个命题，其中正确的是(BC)A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βB．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α(2)(2022·广东珠海模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是(D)A．l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥α[解析](1)选项A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能相交可能平行，故A不正确；选项B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；选项C，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正确；选项D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D不正确．故选BC.(2)由α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；对于D，l∥m，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．故选D.名师点拨MINGSHIDIANBO解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示．如知a∥α，可将笔看成a，桌面看成α，让笔平移、旋转，如知a⊥α，将笔看成a，让笔平移，很容易做出正确判定，事半功倍．〔变式训练1〕(1)(多选题)(2022·江苏泰州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则(ABD)A．α内不存在直线与l平行B．α内有无数条直线与l垂直C．α内所有直线与l是异面直线D．至少存在一个过l且与α垂直的平面(2)(2022·安徽马鞍山质检)设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β.其中所有正确命题的序号是(B)A．①② B．②C．④ D．②③[解析](1)α内的直线与l相交或异面，A对，C错；直线l与它在平面α内的射影m所确定的平面β与平面α垂直，D对；平面α内与射影m垂直的直线也与l垂直，显然这样的直线有无数条，B对．故选ABD.(2)对①，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故①错；对②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，②对；对③，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，③错；对④，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n不一定垂直β，④错，故选B.考点二直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1线、面垂直的判定例2(2020·新课标Ⅰ卷(节选))如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq\f(\r(6),6)DO.证明：PA⊥平面PBC.[证明]证法一：由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1，则DO＝eq\f(\r(3),2)，CO＝BO＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)，所以PO＝eq\f(\r(6),6)DO＝eq\f(\r(2),4)，PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝eq\f(\r(6),4)＝PB＝PA，又△ABC为等边三角形，则eq\f(BA,sin60°)＝2OA，所以BA＝eq\f(\r(3),2)，PA2＋PB2＝eq\f(3,4)＝AB2，则∠APB＝90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.证法二：因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面直径，所以AE⊥BC.因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内，所以PO⊥BC.又因为PO⊂平面PAE，AE⊂平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因为PA⊂平面PAE，所以PA⊥BC.设AE∩BC＝F，则F为BC的中点，连接PF.设DO＝a，且PO＝eq\f(\r(6),6)DO，则AF＝eq\f(\r(3),2)a，PA＝eq\f(\r(2),2)a，PF＝eq\f(1,2)a.因此PA2＋PF2＝AF2，从而PA⊥PF.又因为PF∩BC＝F，所以PA⊥平面PBC.证法三：空间直角坐标系法不妨设AB＝2eq\r(3)，则AE＝AD＝eq\f(AB,sin60°)＝4，由DO⊥平面ABC，所以DO＝eq\r(AD2－AO2)＝2eq\r(3)，所以PO＝eq\f(\r(6),6)DO＝eq\r(2).因为O是△ABC的外心，因此AE⊥BC.在底面过O作BC的平行线与AB的交点为W，以O为原点，eq\o(OW,\s\up6(→))方向为x轴正方向，eq\o(OE,\s\up6(→))方向为y轴正方向，eq\o(OD,\s\up6(→))方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0，－2,0)，B(eq\r(3)，1,0)，C(－eq\r(3)，1,0)，E(0,2,0)，P(0,0，eq\r(2))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,2，eq\r(2))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1，eq\r(2))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，eq\r(2))．故eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0－2＋2＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝0－2＋2＝0.所以AP⊥BP，AP⊥CP.又BP∩CP＝P，故AP⊥平面PBC.角度2线、面垂直的性质例3(2022·山东菏泽一模(节选))如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，AF⊥DE，F为垂足．求证：AF⊥DB.[证明]由题意可知DA⊥底面ABE，BE⊂底面ABE，故BE⊥DA，由AB为直径知BE⊥AE，又AE∩DA＝A，DA⊂平面AED，AE⊂平面AED，故BE⊥平面AED，由AF⊂平面AED得AF⊥BE，又AF⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，故AF⊥平面BED，又DB⊂平面BED，∴AF⊥DB.角度3直线与平面所成的角例4(2022·江苏无锡高三期末)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线B1M与平面A1C1A.eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(2\r(2),3)[解析]解法一：连B1D1交A1C1于H，连BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，易证B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即为B1M与平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.设正方体棱长为1，则B1O＝eq\f(1,3)B1D＝eq\f(\r(3),3)，B1N＝eq\f(1,2)B1M＝eq\f(\r(6),4)，∴sin∠B1NO＝eq\f(B1O,B1N)＝eq\f(2\r(2),3).故选D.解法二：连AC、CD1、D1A、B1D、D1M、B1D∩D1M＝H，易知平面A1BC1∥平面ACD1，B1D⊥平面ACD1，∴∠B1MH为B1M与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为1，则B1M＝eq\f(\r(6),2)，B1H＝eq\f(2\r(3),3)，∴sin∠B1MH＝eq\f(B1H,B1M)＝eq\f(2\r(2),3)，从而B1M与平面A1BC1所成角的正弦值为eq\f(2\r(2),3).故选D.解法三：向量法，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，由DB1⊥平面A1C1B易知平面A1C1B的法向量为n＝(1,1,1)，eq\o(MB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，记B1M与平面A1C1B所成角为θ，则sinθ＝eq\f(|n·\o(MB1,\s\up6(→))|,|n|·|\o(MB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(2\r(2),3).故选D.名师点拨MINGSHIDIANBO1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂直；等腰三角形底边上的中线、顶角平分线垂直底边．等等．(2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直线与平面垂直的性质．(4)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.3．求直线与平面所成角的方法(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角；③求，通过解三角形，求角．(2)公式法：sinθ＝eq\f(h,l)(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角)．(3)向量法，sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|\o(AB,\s\up6(→))|·|n|)(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．〔变式训练2〕(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[解析](1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝eq\f(1,2)，故DE＝eq\f(\r(3),2)，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(3)，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(2)解法一：连PE，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE为PD与平面PAB所成的角．又PD⊥DE.∴PE＝eq\r(PD2＋DE2)＝eq\f(\r(15),2).∴sin∠DPE＝eq\f(DE,PE)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,\r(15))＝eq\f(\r(5),5).即PD与平面PAB所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).解法二：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，P(0,0，eq\r(3))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，eq\r(3))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0,0，eq\r(3))，设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AP,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)z＝0,n·\o(BP,\s\up6(→))＝－\r(3)y＋\r(3)z＝0))，可取n＝(eq\r(3)，1,1)，则cos〈n，eq\o(DP,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(DP,\s\up6(→)),|n||\o(DP,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).考点三两个平面垂直的判定与性质——师生共研例5(2021·广东茂名市二模)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝4eq\r(3)，将△ADC沿着AC翻折，使得点D到点P，且PB＝2eq\r(6).求证：平面APC⊥平面ABC.[证明]证法一：由等腰梯形AB＝2CD＝2AD＝4eq\r(3)，得∠ABC＝60°.又AB＝2BC，所以AC⊥BC.又PC＝BC＝2eq\r(3)，PB＝2eq\r(6)，则CB2＋CP2＝PB2，所以BC⊥CP.又AC∩CP＝C，所以BC⊥平面APC，又BC⊂平面ABC，所以平面APC⊥平面ABC.证法二：取AC的中点O，连PO，BO，由AP＝PC知PO⊥AC，在等腰梯形ABCD中，由AB∥CD，AB＝2CD＝2AD＝4eq\r(3)，可求得OP＝eq\r(3)，OB＝eq\r(21)，又PB＝2eq\r(6)，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB，又AC∩OB＝O，∴PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.考点四点到平面的距离例6(2022·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求点E到平面PAB的距离．[解析](1)证明：连接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，又∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥AD，又∵PE∩AD＝E，PE⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，PB＝eq\r(6)，则S△PAB＝eq\f(\r(15),2)，在△ABE中，AB＝2，AE＝1，BE＝eq\r(3)，则S△ABE＝eq\f(\r(3),2)，由PE⊥面ABCD，PE＝eq\r(3)，得VP－ABE＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(1,2)，由VP－ABE＝VE－PAB，设点E到平面PAB的距离为h，则eq\f(1,3)×eq\f(\r(15),2)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)，则h＝eq\f(\r(15),5)，即点E到平面PAB的距离为eq\f(\r(15),5).注：本题也可用向量法求解．名师点拨MINGSHIDIANBO(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(一般在一个平面内找交线的垂线，证此线与另一面垂直．)(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)(4)求点到平面距离的方法①定义法——作出点到平面的垂线段(借助过点与已知平面垂直的平面)，求其长度即可．②体积法．〔变式训练3〕(1)(2022·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝eq\f(π,3)，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD⊥平面ABCD，则eq\f(PE,EC)＝eq\f(1,2).(2)(2022·山东济宁模拟节选)如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，AB＝AC.证明：平面ADF⊥平面BCF.[解析](1)取AD的中点O，连接OC交BD于F点，连接EF，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面BDE⊥平面ABCD，∴PO∥平面BDE.∴OP∥EF，∴eq\f(PE,EC)＝eq\f(OF,FC)＝eq\f(1,2).故答案为eq\f(1,2).(2)证明：因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，因为四边形ABEF是矩形，所以FA⊥AB，因为平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，AF⊂平面ABEF，所以AF⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AF⊥BC，又AF，AD⊂平面ADF，AF∩AD＝A，所以BC⊥平面ADF，又BC⊂平面BCF，所以平面ADF⊥平面BCF.立体几何中的动态问题例7(1)(多选题)(2022·四省八校下学期开学联考改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为底面ABCD内一动点，则下列命题正确的个数是A．若MN＝eq\r(5)，则点N的轨迹长度为πB．若N到平面BB1C1C与直线AA1的距离相等，则C．若N在线段AC上运动，则D1N⊥DB1.D．若N在线段AC上运动，则MN∥DB1.(2)(多选题)(2021·山东日照模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是A．若MN与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点N的轨迹为圆B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若D1N与AB所成的角为eq\f(π,3)，则点N的轨迹为双曲线[解析](1)DM⊥DN且MN＝eq\r(5)，DM＝1，所以点N的轨迹是以D为圆心，DN＝2为半径的圆周的eq\f(1,4)，所以长度为π，A正确；若N到平面BB1C1C与直线AA1的距离相等，即N到直线BC与到点A的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分，B正确；DB1⊥平面D1AC，则D1N⊥DB1，C若N在线段AC上运动，只有当N为AC中点才满足MN∥DB1，D错误．故选ABC.(2)对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，即∠MND＝eq\f(π,4)，所以DN＝DM＝2，所以点N的轨迹是D为圆心，2为半径的圆，故选项A正确；对于B，若MN＝4，因为MD⊥DN，MD＝2，所以ND＝eq\r(MN2－MD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，所以点P到DM的中点Q的距离为eq\f(1,2)DN＝eq\r(3)，又因为点P到平面ABCD的距离等于DQ＝1为定值，所以点P的轨迹是以