2016高三几何体的表面积和体积复习

空间几何体的表面积与体积12021/5/9【知识梳理】1.多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的_________,表面积是侧面积与_________之和.面积之和底面面积22021/5/91.柱体、锥体、台体的表面积正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。32021/5/9圆柱的展开图是一个矩形：如果圆柱的底面半径为，母线为，那么圆柱的底面积为，侧面积为。因此圆柱的表面积为O`O42021/5/9圆锥的展开图是一个扇形：

如果圆锥的底面半径为，母线为，那么它的表面积为O

S52021/5/9圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面和加上侧面的面积，即O`O62021/5/9柱体、锥体、台体的体积正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统一为：V=Sh（S为底面面积，h为高）一般棱柱的体积公式也是V=Sh，其中S为底面面积，h为高。棱锥的体积公式也是

，其中S为底面面积，h为高。即它是同底同高的圆柱的体积的。72021/5/92.旋转体的表面积与侧面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r,母线长l)2πrl_________圆锥(底面半径r,母线长l)____πr(l+r)圆台(上、下底面半径r1,r2,母线长l)_________π(r1+r2)l+π(r12+r22)球(半径为R)_____2πr(l+r)πrlπ(r1+r2)l4πR282021/5/93.空间几何体的体积(h为高,S为下底面积,S′为上底面积)(1)V柱体=___.特别地,V圆柱=πr2h(r为底面半径).(2)V锥体=____.特别地,V圆锥=πr2h(r为底面半径).(3)V台体=h(S++S′).特别地,V圆台=πh(r2+rr′+r′2)(r,r′分别为上、下底面半径).(4)V球=____(球半径是R).Sh92021/5/9【特别提醒】1.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.(2)半径:r=(a,b,c为长方体的长、宽、高).102021/5/92.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球:球心是正方体中心;半径r=(a为正方体的棱长).(2)内切球:球心是正方体中心;半径r=(a为正方体的棱长).(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径r=(a为正方体的棱长).112021/5/93.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r=(a为正四面体的棱长).(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=(a为正四面体的棱长).122021/5/9【小题快练】链接教材练一练1.(必修2P28习题1.3A组T3改编)如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为

.132021/5/9【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.答案:1∶47142021/5/92.(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6cm,8cm,10cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________.【解析】旋转一周所得几何体为以cm为半径的两个同底面的圆锥,其表面积为S=π××6+π××8=π(cm2).答案:πcm2152021/5/9感悟考题试一试3.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(

)162021/5/9A.8cm3

B.12cm3C.cm3

D.cm3【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=172021/5/94.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4182021/5/9【解析】选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+×2πr×2=2π+4,所以此几何体的表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.192021/5/95.(2014·山东高考)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.202021/5/9【解析】设六棱锥的高为h,斜高为h′,则由体积得:所以侧面积为×2×h′×6=12.答案:12212021/5/9考向一空间几何体的侧面积与表面积【典例1】(1)(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(

)222021/5/9【规范解答】(1)选B.由该四面体的三视图可知,该四面体的直观图如图所示:其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=,取AC的中点O,连接PO,BO,则在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB=,所以232021/5/9(2)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=

(

)(真题溯源:本题源自A版必修2P15练习2(2))242021/5/9A.1 B.2 C.4 D.8252021/5/9【解题导引】(1)先根据三视图还原几何体,弄清三视图与直观图之间量的对应关系,再求各个面的面积.(2)根据正视图和俯视图想象出其直观图,然后根据表面积列方程求解.262021/5/9(2)选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为×4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.272021/5/9【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误:根据三视图还原直观图时,三视图中的各数值与直观图中的数值对应不正确,从而造成错解.282021/5/9【规律方法】几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形来解决.292021/5/9(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理.(4)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.易错提醒:求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积要减去.302021/5/9【变式训练】(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(

)312021/5/9【解析】选C.还原几何体如图所示,S△BCD=BC·DE=×2×2=2,S△ACD=S△ABD=××1=,S△ABC=BC·AE=×2×=,所以表面积为2+2.322021/5/9【加固训练】1.(2016·威海模拟)一个几何体的三视图如图所示,则几何体的表面积是(

)332021/5/9【解析】选C.该空间几何体是一个三棱柱.底面等腰三角形的高是1,两腰长为2,所以其底边长是2,两个底面三角形的面积之和是2,侧面积是(2+2+2)×3=12+6,故其表面积是12+8.342021/5/92.(2016·武汉模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)A.10π+96 B.9π+96C.8π+96 D.9π+80352021/5/9【解析】选C.图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方体构成的简单组合体,其表面积S=6×4×4+2π×1×4=96+8π.362021/5/93.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是

.372021/5/9【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).382021/5/9在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE=4,AE=3,则AD=5.所以其表面积为2××(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.答案:92392021/5/9考向二空间几何体的体积【考情快递】命题方向命题视角根据几何体的三视图计算体积主要考查由三视图转化为直观图,进而计算其体积根据几何体的直观图计算体积直接考查几何体体积的计算或与实际生活结合考查体积的计算402021/5/9【考题例析】命题方向1:根据几何体的三视图计算体积【典例2】(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)412021/5/9422021/5/9【解题导引】依据三视图画出几何体的直观图,利用割补法求解.432021/5/9【规范解答】选D.由三视图得,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去四面体A-A1B1D1,如图所示,设正方体棱长为a,则故剩余几何体体积为所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为442021/5/9命题方向2:根据几何体的直观图计算体积【典例3】(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,452021/5/9问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有

(

)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛462021/5/9【解题导引】由米堆底部的弧长可求出圆锥底面半径,进而求得米堆的体积.【规范解答】选B.设圆锥底面半径为r,则×2×3r=8,所以r=所以米堆的体积为故堆放的米约为÷1.62≈22.472021/5/9【技法感悟】求几何体体积的常见类型及解题策略(1)以三视图为载体的几何体体积问题:将三视图还原为几何体,利用空间几何体的体积公式求解.482021/5/9(2)直观图中几何体的体积问题:①锥体、柱体的体积问题:根据题设条件求出所给几何体的底面积和高,直接套用公式求解;②球的体积问题:直接利用球的体积公式求解,在实际问题中要根据题意作出图形,构造直角三角形确定球的半径;492021/5/9③不规则几何体的体积问题:常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解.502021/5/9【题组通关】1.(2015·山东高考)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(

)

512021/5/9【解析】选C.如图,所得几何体为一个圆柱挖去一个小圆锥,其体积522021/5/92.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

m3.532021/5/9【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为2××π×12×1+π×12×2=(m3).答案:542021/5/93.(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为

.552021/5/9【解析】由圆锥与圆柱的体积公式可知,V圆锥=πr2h=π·52×4=,V圆柱=πr2h=π·22×8=32π,所以圆锥与圆柱的总体积为+32π.设制作后新的圆锥与圆柱的底面半径为r′,由题知πr′2×4+πr′2×8=+32π,解得r′=.所以新的底面半径为.答案:562021/5/9考向三球与几何体的切、接问题【典例4】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(

)A.36π B.64π C.144π D.256π572021/5/9(2)(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4582021/5/9【解题导引】(1)△AOB的面积是定值,根据VO-ABC=VC-AOB,当点C到平面AOB的距离最大,即CO⊥平面AOB时,VO-ABC最大.(2)先由三视图画出直观图,判断这个几何体是底面的边长为6,8,10的直角三角形,高为12的水平放置的直三棱柱,底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径.592021/5/9【规范解答】(1)选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.602021/5/9(2)选B.由三视图画出直观图如图,判断这个几何体是底面的边长为6,8,10的直角三角形,高为12的水平放置的直三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r==2,这就是得到的最大球的半径.612021/5/9【母题变式】1.若本例题(1)条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的半径.622021/5/9【解析】因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R=即R=632021/5/92.若本例题(1)条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.642021/5/9【解析】如图,设球心为O,半径为r,则在Rt△AOF中,(4-r)2+()2=r2,解得r=,则球O的体积V球=652021/5/9【规律方法】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.662021/5/9(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体