2022高考数学一轮复习 第七章 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式知识点 新人教A版

PAGEPAGE1第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a＜b；))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.))2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(×)(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒eq\f(a,d)＞eq\f(b,c).(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根数，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac2．(2014·四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)解析∵c＜d＜0，∴0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，两边同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.两边同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).故选B.答案B3．(2014·大纲全国卷)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x＋2）＞0，,|x|＜1))的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}解析由x(x＋2)＞0得x＞0或x＜－2；由|x|＜1得－1＜x＜1，所以不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.答案C4．若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)＜0，则实数k的取值范围是________．解析可判断k＝0或k＜0均不符合题意，故k＞0.于是原不等式即为keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2＋4,k)))(x－4)＜0⇔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2＋4,k)))(x－4)＜0，依题意应有3≤eq\f(k2＋4,k)≤5且k＞0，∴1≤k≤4.答案[1，4]5．(人教A必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．解析由题意知：Δ＝(m＋1)2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，解得：m＞－3＋2eq\r(2)或m＜－3－2eq\r(2).答案(－∞，－3－2eq\r(2))∪(－3＋2eq\r(2)，＋∞)考点一不等式的性质及应用【例1】若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④解析法一因为eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误．综上所述，可排除A，B，D.深度思考判断不等式是否成立，常采用特殊值法进行排除．但为了更好理解不等式的性质，请你利用不等式的性质判断一下．法二由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以eq\f(1,a＋b)＜0，eq\f(1,ab)＞0.故有eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则－eq\f(1,a)＞－eq\f(1,b)＞0，所以a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．答案C规律方法判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．【训练1】(1)(2014·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,b)B．a2＜abC.eq\f(|b|,|a|)＜eq\f(|b|＋1,|a|＋1)D．an＞bn(2)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，eq\f(|b|,|a|)＜eq\f(|b|＋1,|a|＋1)⇔|b|(|a|＋1)＜|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|＜|a||b|＋|a|⇔|b|＜|a|，∵a＜b＜0，∴|b|＜|a|成立，故选C.(2)由不等式性质及a＞b＞1知eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，又c＜0，所以eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)，①正确；构造函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确．答案(1)C(2)D考点二一元二次不等式的解法【例2】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.eq\f(5,2)B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4)D.eq\f(15,2)解析法一由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a＞0，所以不等式的解集为(－2a，4a)．又不等式的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a.从而x2－x1＝6a＝15，解得a＝eq\f(5,2).法二由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝eq\f(5,2)，故选A.答案A(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解①当k＝0时，不等式的解为x＞0.②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为eq\f(1－\r(1－k2),k)＜x＜eq\f(1＋\r(1－k2),k)；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜eq\f(1＋\r(1－k2),k)或x＞eq\f(1－\r(1－k2),k)；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0＜k＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1－\r(1－k2),k)＜x＜\f(1＋\r(1－k2),k)))；k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1＋\r(1－k2),k)，或x＞\f(1－\r(1－k2),k)))；k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；k＜－1时，不等式的解集为R.规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【训练2】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.当eq\f(2,a)＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；当eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当eq\f(2,a)＜－1，即－2＜a＜0时，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(2,a)，或x≤－1))；当－2＜a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,a)≤x≤－1))；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤\f(2,a))).考点三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．深度思考关于不等式恒成立求参数范围可以利用分离参数法，本题第(2)问还可用二次函数在闭区间上的最值来求解．解(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0⇒－4＜m＜0.))所以－4＜m≤0.(2)要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq\f(6,x2－x＋1).因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m＜eq\f(6,7)即可．所以，m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＜\f(6,7))).法二令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0，所以m＜eq\f(6,7)，则0＜m＜eq\f(6,7)；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是{m|m＜eq\f(6,7)}．规律方法(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【训练3】已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．解因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立．即当x≥1时，a＞－(x2＋2x)恒成立．设g(x)＝－(x2＋2x)，而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a＞－3.所以，实数a的取值范围是{a|a＞－3}．微型专题与不等式性质有关的函数值范围问题给出相关变量满足的若干个不等式条件，再求其他变量式子的取值范围是考查不等式的一个常用题型，常结合线性规划知识考查，难度不大，但是如果在解题过程中对不等式的性质掌握不牢、理解肤浅，就很容易解错．【例4】已知实数x，y满足条件－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．点拨先建立待求整体与已知整体的范围的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．解析设z＝2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)＝(a＋b)x＋(a－b)y，∴a＋b＝2，a－b＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)，b＝eq\f(5,2).由－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，可得－2＜－eq\f(1,2)(x＋y)＜eq\f(1,2)，5＜eq\f(5,2)(x－y)＜eq\f(15,2)，3＜－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)＜8，即2x－3y∈(3，8)．或用线性规划方法求解，画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＋y＜4，,2＜x－y＜3))表示的可行域，在可行域内平移直线z＝2x－3y，当直线经过x＋y＝4与x－y＝2的交点(3，1)时，目标函数有最小值z＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点(1，－2)时，目标函数有最大值z＝8.因为取不到等号，所以有2x－3y∈(3，8)．答案(3，8)点评求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围，而要采用整体考虑的思想方法．处理与不等式有关的范围问题重点掌握两种求解方法，即本例介绍的待定系数法和线性规划法.[思想方法]1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形．4．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解．[易错防范]1．不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号．2．在解含有参数的不等式时，分类讨论的划分一定要明确，先进行大的分类，在每大类中再进行小的分类，注意分类要做到不重不漏．3．当不等式的二次项系数含有参数时，一定不要忽略这个系数可能等于零的情况．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·大庆质量检测)若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是 ()A.eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a) B.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．|a|＞|b| D．a2＞b2解析取a＝－2，b＝－1，则eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)不成立，选A.答案A2．(2013·天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的 ()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．答案A3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是 ()A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}解析由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝a2－4a≤0，))得0＜a≤4，所以0≤a≤4.答案D4．(2015·泉州实验中学模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为 ()解析由题意知a＜0，由根与系数的关系知eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴交点为(－1，0)，(2，0)，故选B.答案B5．(2014·浙江卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则 ()A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c＞9解析由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0①，由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得4a－b－13＝0②，由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，即6＜c≤9，故选C.答案C二、填空题6．函数y＝eq\r(x2＋x－12)的定义域是________．解析由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.答案(－∞，－4]∪[3，＋∞)7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是________．解析由题意，知－eq\f(1,2)和eq\f(1,3)是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a),－\f(1,2)×\f(1,3)＝\f(2,a))).解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))则不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，其解集为{x|－2＜x＜3}．答案{x|－2＜x＜3}8．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．解析二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1＜0，,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))三、解答题9．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0时，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)，或x＞\f(a,3)))；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③a＜0时，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)，或x＞－\f(a,4))).综上所述，当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)，或x＞\f(a,3)))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)，或x＞－\f(a,4))).10．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g（－1）≥0.))解得－3≤a≤1，所以a的取值范围是[－3，1]．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·大连模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))解析由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1，3)，∴a＜0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－ab,a)＝2，,－\f(b,a)＝－3，))解得a＝－1或eq\f(1,3)(舍去)，∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞eq\f(1,2)，或x＜－eq\f(3,2)，故选A.答案A12．(2015·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(3),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(3),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2)))解析∵x∈(0，2]，∴a2－a≥eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))要使a2－a≥eq\f(1,x＋\f(1,x))在x∈(0，2]时恒成立，则a2－a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋\f(1,x))))eq\s\do7(max)，由基本不等式得x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋\f(1,x))))eq\s\do7(max)＝eq\f(1,2)，故a2－a≥eq\f(1,2)，解得a≤eq\f(1－\r(3),2)或a≥eq\f(1＋\r(3),2).答案C13．已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.答案{x|x<1或x>3}14．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．解(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ①由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0. ②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－eq\f(1,5).由于a<0，舍去a＝1，将a＝－eq\f(1,5)代入①，得f(x)＝－eq\f(1,5)x2－eq\f(6,5)x－eq\f(3,5).(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋2a,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2＋4a＋1,a)及a<0，可得f(x)的最大值为－eq\f(a2＋4a＋1,a).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋4a＋1,a)>0，,a<0，))解得a<－2－eq\r(3)或－2＋eq\r(3)<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－eq\r(3))∪(－2＋eq\r(3)，0).

第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(√)(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0，0)B．(－1，1)C．(－1，3)D．(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.答案C3．直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－eq\f(4,3)，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．答案B4．(2014·天津卷)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－y－2≤0，,y≥1，))则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z＝x＋2y，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，eq\f(1,2)z的几何意义是直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z在y轴上的截距，要使z最小，需使eq\f(1,2)z最小，易知当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z过点A(1，1)时，z最小，最小值为3，故选B.答案B5．(2014·安徽卷)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x＋2y－4≤0，,x＋3y－2≥0))表示的平面区域的面积为________．解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y－2＝0，,x＋2y－4＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－2.))∴A(0，2)，B(2，0)，C(8，－2)．直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4，0)．因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＝4.故答案为4.答案4考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B．(0，1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))D．(0，1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))(2)若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域被直线y＝kx＋eq\f(4,3)分为面积相等的两部分，则k的值是()A.eq\f(7,3)B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析(1)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a的a的取值范围是0＜a≤1或a≥eq\f(4,3).(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋eq\f(4,3)过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋eq\f(4,3)能平分平面区域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).当y＝kx＋eq\f(4,3)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,5)))时，eq\f(5,2)＝eq\f(k,2)＋eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(7,3).答案(1)D(2)A规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．【训练1】(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0))所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))所围成的平面区域如图．∵其面积为2，∴|AC|＝4，从而C点坐标为(1，4)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝3，故选D.答案(1)B(2)D考点二简单线性目标函数的最值问题【例2】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2(2)(2014·北京卷)若x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)解析(1)画出可行域如图所示．由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可将直线y＝2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距－z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7＝0，,x－3y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))即A(5，2)，则zmax＝2×5－2＝8.(2)作出线性约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0))的可行域．当k＞0时，如图1所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k＝0时，z＝y－x也无最小值；当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k＜0时，如图2所示，此时可行域为点A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))，C(0，2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))时，有最小值，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))＝－4⇒k＝－eq\f(1,2).故选D.答案(1)B(2)D规律方法(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．【训练2】(1)(2014·安徽卷)x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1B．2或eq\f(1,2)C．2或1D．2或－1(2)(2014·福建卷)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥0，))则z＝3x＋y的最小值为________．解析(1)作出可行域(如图)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝eq\f(1,2)，可得a＝－1或a＝2或a＝eq\f(1,2)，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝eq\f(1,2)时，不成立，故选D.(2)可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z＝3x＋y经过点A(0，1)时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝3×0＋1＝1.答案(1)D(2)1考点三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x、y∈N，))目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36800(元)．答案C规律方法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50解析设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，y≥0.))画出可行域如图，得最优解为A(30，20)，故选B.答案B微型专题非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；(2)eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；(5)eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．【例4】实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＞0，,y≤2.))(1)若z＝eq\f(y,x)，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．点拨先画出可行域，再利用目标函数的几何意义求解．解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＞0，,y≤2))作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝eq\f(y,x)表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此eq\f(y,x)的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2))得B(1，2)，∴kOB＝eq\f(2,1)＝2，即zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x2＋y2的值最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＝0))得A(0，1)，∴|OA|2＝(eq\r(02＋12))2＝1，|OB|2＝(eq\r(12＋22))2＝5，∴z的取值范围是(1，5]．点评在简单的线性规划问题中：一是要把不等式组所表示的平面区域作准确；二是要把握好目标函数的几何意义，这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况．[思想方法]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[易错防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z取最大值.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·泰安模拟)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为()A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝x－1，))得yD＝eq\f(1,2)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×(xC－xB)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).答案D2．(2014·广东卷)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝ ()A．5 B．6 C．7 D．8解析作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1，,x＋y＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1，,y＝x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.答案B3．(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为 ()A．－6 B．－2C．0 D．2解析如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2，2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.答案A4．(2014·成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x＋y－2≥0，,x－y－1≤0))所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为 ()A．2 B.1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析作出可行域如图所示，当点P位于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝1))的交点(1，1)时，(kOP)max＝1，故选B.答案B5．(2015·济南模拟)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥1，,x＋y≥1，,1＜x≤a，))目标函数z＝x＋2y的最大值为10，则实数a的值为 ()A．2 B.eq\f(8,3)C．4 D．8解析结合图形求解．作出不等式组对应的平面区域，当目标函数经过点(a，a－1)时取得最大值10，所以a＋2(a－1)＝10，解得a＝4，故选C.答案C二、填空题6．(2015·日照调研)若A为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．解析平面区域A如图所示，所求面积为S＝eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).答案eq\f(7,4)7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x＋y－2≥0，,y≥0))所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝eq\f(|－2|,\r(12＋12))＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．(2015·盐城调研)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x＋1，,y≥2x－1，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．解析可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a＞0，b＞0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab＋3，于是有2ab＋3＝35，ab＝16，所以a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(16)＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以(a＋b)min＝8.答案8三、解答题9．(2015·合肥模拟)画出不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤y≤x＋5，,－\f(5,2)≤x≤3，且x∈Z，))当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0，))目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,0.3x＋0.1y＝1.8，))得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为 ()A．5 B．29C．37 D．49解析由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案C12．已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为 ()A．(－∞，－1) B．(0，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)解析作出不等式组对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B(1，3)处的截距最大，由图象可知a＞kBD，因为kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．答案D13．(2013·广东卷)给定区域D：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0.))令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．答案614．变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解由约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1，1)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5，2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).故z的取值范围是[2，29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq\r(（－3－5）2＋（2－2）2)＝8.故z的取值范围是[16，64].

第3讲基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大)．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)当a≥0，b≥0时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).(√)(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的．(×)(3)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)(4)x＞0且y＞0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要条件．(×)2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a＜0，b＜0时，明显错误．对于D，∵ab＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.答案D3．(2015·郑州模拟)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．2B.eq\f(1,4)C．4D．8解析由题意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)时，取等号，所以最小值为4.答案C4．(2014·上海卷)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析∵x2＋2y2≥2eq\r(x2·2y2)＝2eq\r(2)xy＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\r(2)y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2eq\r(2).答案2eq\r(2)5．(人教A必修5P100A2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________解析设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq\f(1,2)x·(2y)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq\f(15,2)时取等号．答案15eq\f(15,2)考点一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)＞0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)＞0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．规律方法利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，取等号．考点二利用基本不等式求最值【例2】解答下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；(3)已知x＜eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(4)已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．深度思考解决与基本不等式有关的最值问题，你学会“配凑”了吗？(利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值)解(1)法一∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥2eq\r(4ab)＝4eq\r(ab)，当且仅当4a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)时，等号成立．∴eq\r(ab)≤eq\f(1,4)，∴ab≤eq\f(1,16).所以ab的最大值为eq\f(1,16).法二∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，∴ab＝