圆周角 省赛获奖

24.1.4圆周角（1）九年级数学备课组5个命题：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对的劣弧。以其中两个命题为条件，能推出其他命题。ABCDMO垂径定理的推论：1、复习提问:(2)圆心角，弧，弦，弦心距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。推论：∠ACB与

∠AOB有何异同点？你知道∠ACB这一类的角名字吗？

顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。如∠ACB.圆周角的概念：BACO如下图，你们能找出圆周角吗？有什么特征？顶点两边√

归纳：一个角是圆周角的条件：

①顶点在圆上；

②两边都和圆相交.类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.●O●O●OABCABCABC1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●ODABC过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;

90°的圆周角所对的弦是直径．推论：·BC1OC2C3练一练1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB2.在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=__；1.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D

为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=______；20°25°3.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°

，求∠BOC的度数.⌒⌒4.如图，在⊙O中，BC=2DE，∠BOC=84°，求∠A的度数.∠BOC=140°∠A=21°例2.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC

为直角三角形.证明：CO=AB,以AB为直径作⊙O，∵AO=BO， ∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，且CO=AB∴△ABC为直角三角形.小结在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;

90°的圆周角所对的弦是直径．推论