直线与圆的位置关系

24.2.2直线和圆的位置关系第二课时直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有一、温故知新1（1）.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？（2）.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？2、情景引入3.什么叫做切线？4.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切线的方法？（一)切线的判定

1、观察、提出问题、分析发现

根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？图（１）图（２）图（３）OOO二、探究新知O在⊙O中，经过半径OA的外端点Ａ作直线l⊥OA。思考一下问题：1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2）直线l和⊙O位置有什么关系？为什么？3）由此你发现了什么？lA发现：(1)直线

l经过半径OA的外端点A；

(2)直线l垂直于半径0A．则:直线l与⊙O相切2、直线与圆相切的判定定理：AOl

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

（1）对定理的理解：切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．Orl

A如图所示∵OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线。（2）定理的几何符号表达：这个定理实际上就是：

d=r直线和圆相切的另一种说法。判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA（3）问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?

两个条件,缺一不可证明：连结OC(如图)。∵⊿OAB中，

OA＝OB

,CA＝CB,∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。三、应用新知辅助线：有点连圆心，证垂直辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD

即圆心O到AC的距离d=r∴AC是⊙O切线。

例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED归纳分析1.如图AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,求证AT

是⊙O的切线.证明:∵∠ABT=45°，AT

=AB∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠TAB=180°－∠ATB－∠ABT=90°.∴TA⊥OA.∴AT是⊙O的切线.·ABTO∵

OA是⊙O的半径，巩固练习辅助线：连半径，证垂直1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明直线与圆相切有如下三种途径:

即：（1）若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；（2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．.OAL（二）切线的性质如果L是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径

1.（中考题）Ａ、Ｂ是⊙O上的两点，ＡＣ是⊙O的切线，∠B=70°，则∠OAB=____°，∠BAC=_____

O

ＡＢC（1）我能行：2.（中考题）如右图，AB与⊙O相切于A点，

AB=4cm，BO=5cm，则⊙O的半径为

。

7020°3cm3.如图AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点，l1、l2有怎样的关系？证明你的结论．·OABl1l2证明:l1∥l2∵l1是⊙O切线，∴l1⊥OA.∵l2是⊙O切线，∴

l2⊥OB.AB为直径，∴l1∥l2.巩固练习辅助线：连半径，得垂直结论：经过直径两端点的切线互相平行4如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．课堂练习〖例３〗已知：△ABC

为等腰三角形，O是底边

BC

的中点，腰AB与⊙O相切于点D.

求证：AC是⊙O的切线．ABODCE分析：①连接OD，点D是半径外端，OD⊥AB.②作OE⊥AC于E，证OE=OD.1.切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。应用：∵点A在⊙O上，AB⊥OA∴AB是⊙O的切线.

2.切线的性质：

圆的切线垂直于过切点的半径。应用：∵AB是⊙O的切线,A是切点∴AB⊥OA.本节知识点AOB课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线3.常用的添辅助线方法？

⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线2、切线的性质定理。（连半径，得垂直）知识像一艘船让它载着我们驶向理想的

……谢谢1、如图，AB是⊙O

的直径，∠ＰＡＢ＝９０°，连接ＰＢ交⊙O于点C，Ｄ是ＰＡ边的中点，连接CD。求证：CD是⊙O

的切线OCPDAB2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？解：BD是⊙O的切线.连结OD.又∵∠B＋∠BOD＋∠BDO＝180°∵OA＝OD

，

∠BAD＝30°(已知)∴直线BD⊥OD又∵直线BD经过⊙O上的D点∴直线BD是⊙O的切线∴∠ODA＝∠A＝30°(等边对等角)∴∠BOD＝∠A＋∠ODA＝60°O●ABCD∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90°ABODC3、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线。BAEDCO如图:⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=4,D是线段BC的中点。（1）试判断点D与⊙O的位置关系（2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线3AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并说明你的理由.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D,OE∥AC交AB于E求证：DE是⊙O的切线