相似三角形（全）(zzq)

27.2.1相似三角形的判定（1）相似三角形

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

ABCEDF相似的表示方法符号：∽读作：相似于ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k当时，则△ABC与△A1B1C1相似，记作△ABC∽△A1B1C1.

要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.注意

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1

=k时，ABCA1B1C1则△ABC与△A1B1C1的相似比为

k

.或△A1B1C1与△ABC的相似比为.

想一想:如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,

BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5

,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？

????猜想：ABCDEFl3l4l5

l1l2

除此之外，还有其他对应线段成比例吗？事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，

等等.ABCDEFl3l4l5

l1l2

想一想：通过探究，你得到了什么规律呢？三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的比相等.归纳平行线分线段成比例定理：思考如果把图1中l1

,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

ABCEF

图2（1）ABCDEFl3l4l5

l1l2（D）

图1思考如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

ABCDEFl3l4l5

l1l2

ABCED

图1

图2（2）l2l3l1l3ll

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

推论2.如图,DE//BC,△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.相似ABCDE证明:在△ADE与△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C过E作EF//AB交BC于F∵DBFE是平行四边形F∴DE=BF定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似∴△ADE∽△ABC平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所得的三角形与原三角形________.相似“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）理解请写出它们的对应边的比例式理解已知：如图，AB∥EF∥CD，3图中共有____对相似三角形。△EOF∽△COD

AB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC理解

如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解：与△ABC相似的三角形有3个:

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO运用4如图,已知DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠ACB=400.(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.（2）ADBEC解:(1)DE∥BC△ADE∽△ABC∠AED=∠C=400.△ADE∽△ABC运用在△ADE中,∠ADE=1800-400-450=950.1：如图，EF∥BC，FD∥AB，AE=18，BE=12，CD=14，则BD=____________。

归纳总结1、“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似。2、相似比是带有顺序性和对应性的。布置作业

补充：1、在ABC中，DE∥BC，DE与AB相交于D，与AC相交于E。（1）已知AD=5,DB=3,AE=4，求EC的长。（2）已知AC=12,EC=4,DB=5求AD的长。（3）已知AD:BD=3:2,AC=10，求AE的长。2、如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长。27.2.2相似三角形的判定（2）新课导入思考：如何证明呢？如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。

如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，证明：△ADE与△ABC相似。

判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。例：如图，AB∥EF∥CD，图中共有

对相似三角形，写出来并说明理由。

例：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。(设网球是直线运动)图中有几个相似三角形？重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍。

巩固练习1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长。

2、如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长。

课堂小结谈谈本节课你有哪些收获。

教材P54页，第5、6题27.2.3相似三角形的判定（3）复习回顾回答：不需要，如SSSSASASAAAS。

（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。复习提问：(1)两个三角形全等有哪些判定方法？是否要判断所有对应角相等且所有对应边相等？

(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

相似比k=1时，两个相似三角形全等提出探讨问题：1、如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。同学分成几组，每组选定不同的K的值，探究后再统一汇总。三角形相似的判定方法1:

如果两个三角形的三组对应边的比相等，

那么这两个三角形相似．

提出探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？三角形相似的判定方法2：

两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。思考：（1）中两个三角形相似比是少？

相似比为7/3或3/7

（2）中，要使两三角形相似，不改变AC的长，A’C’的长应改为多少？AC的长度为24

练习：教材P451、2、3．思考:上图中是否还有相似三角形?

思考:两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?为什么?思考：等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?为什么?

B练习：1、一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形（）相似。(A)一定(B)一定不(C)可能(D)无法判断C三角形相似的判定方法1:

如果两个三角形的三组对应边的比相等，

那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法2：

两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。归纳小结：布置作业教材P541、2（1）（2）、3．

27.2.4相似三角形的判定

(4)复习回顾我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边所在直线相交，所成的三角形与原来三角形相似。三角形相似的判定方法1:

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法2:两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。如下图，两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形相似吗？直观上看这两个三角形是相似的，如何证明呢？把小的三角形平移到大的三角形上，使得A与A’重合且角所在的边是重合的，又∠B与∠B’相等，所以BC平移后所在的直线与直线B’C’平行，根据判定三角形相似的（预备）定理可知，这两个三角形是相似的。三角形相似的判定方法3:

如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似。思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似？例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC