相量法的基础

相量法的基础第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三8.1复数一、复数的几种形式：1、代数形式：F=a+jba=Re[F]b=Im[F]2、三角形式：F=|F|(cosθ+jsinθ)+1abF0θ+j3、指数形式：F=|F|欧拉公式：极坐标形式：F=|F|

第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三一、复数的运算：则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标若F1=a1+jb1，F2=a2+jb2加减法可用图解法。—平行四边形法(2)乘除运算——极坐标（指数形式）若F1=|F1|1，若F2=|F2|2除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。则:F1F2ReImOF1+F2F1-F2第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三例1.解:例2.解：上式(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三8.2正弦量一.正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：i(t)=Imsin(wt+y)i+_u波形：tiO/T周期T(period)和频率f(frequency):频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。f=1/T单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。(2)角频率(angularfrequency)w

：每秒变化的角度(弧度)，反映正弦量变化快慢。二、正弦量的三要素：tiO/T(3)初相位(initialphaseangle)y：反映了正弦量的计时起点。(wt+y)表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。Im2t单位：rad/s

，弧度/秒i(t)=Imsin(wt+y)峰-峰值：2Im第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO

=0

=/2=-/2一般规定：||。一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三三、正弦量的性质：正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。四、周期量的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母表示。物理意义：周期性电流i流过电阻R，在一周期T内吸收的电能，等于一直流电流I流过R,在时间T内吸收的电能，则称电流I为周期性电流i的有效值。均方根值第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imsin(t+)第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；U=380V，Um537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三五、同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)则相位差即相位角之差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u领先(超前)Ij角，或i落后(滞后)

uj角(u比i先到达最大值)；j<0，i领先(超前)uj角，或u落后(滞后)

ij

角(i比u先到达最大值)。tu,iu

iyuyijO恰好等于初相位之差第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三j=0，同相：j=(180o)

，反相：规定：|y|(180°)。特殊相位关系：tu,iu

iOtu,iu

iO第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；

i落后up/2,不说

i领先u3p/2。tu,iu

iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三8.3相量法的基础正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。为正弦量i(t)对应的相量。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：1、相量：第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三已知例1.试用相量表示i,u.解：例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

2、相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：q我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义：ejt为一模为1、幅角为t的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转因子，当t从0~T时，相量旋转一周回到初始位置，t从0~2。第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三3、相量运算(1)同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1i2=i3这实际上是一种变换思想可得其相量关系为：第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三例．同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm首尾相接第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

(2).正弦量的微分，积分运算微分运算:积分运算:相量微分:相量积分:第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三（3）、相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)例一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程解)：Ae-R/Lt强制分量(特解)：Imsin(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-解:第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三用相量法求：qRLRi(t)u(t)L+-取相量第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三8.4电路定律的相量形式VCR、KCL和KVL一、电阻、电感和电容的VCR1.电阻时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系u=i(u,i同相)R+-URu相量关系：UR=RIu=i第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三瞬时功率：波形图及相量图：

itOuRpRu=iURI瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三2.电感时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型jL+-i有效值关系：U=wLI相位关系：u=i+90°

(u超前

i90°)1.相量关系：=0时，相当于短路第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三功率：波形图：t

iOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三3、电容时域形式：相量形式：相量模型有效值关系：IC=wCU相位关系：i=u+90°

(i超前

u90°)uiC(t)u(t)C+-+-=0时，相当于开路第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三功率：波形图：t

iCOupC2瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三4、受控源VCCSººgu1+_u2i2ºº+_u1i1时域形式：相量形式：VCCSºº+_ºº+_第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三二、基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦