现代通信傅立叶变换

现代通信傅立叶变换第一页，共四十页，编辑于2023年，星期三=函数信号类型1周期函数f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T为周期

2随机函数3连续—离散函数1信号4模拟—数字第二页，共四十页，编辑于2023年，星期三典型信号1正弦、余弦

2方波3阶跃信号1信号4单位矩形脉冲5δ信号第三页，共四十页，编辑于2023年，星期三1．数学表述周期函数f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T为周期

则可表示为傅立叶级数求和表示法①

其中（n=0，1，2…）

（n=1，2…）

*给定函数形式f(t)，就可以计算各级系数an、bn。2傅立叶级数第四页，共四十页，编辑于2023年，星期三第二种表示法②

其中：第三种表示法③（复数表示）其中：（n=1，2…）（n=0，±1，±2…）第五页，共四十页，编辑于2023年，星期三2．物理意义：

周期性变化的物理量等效于一组正弦变化的物理量分别单独作用后的线性叠加第六页，共四十页，编辑于2023年，星期三周期性方波的傅立叶级数周期性方波的函数可表示为-T/20T/2At例题：第七页，共四十页，编辑于2023年，星期三傅立叶级数：

数学表述周期函数f(t)=f(t+nT)（n=0，±1，±2…）

T为周期

则可表示为傅立叶级数求和其中（n=0，1，2…）

（n=1，2…）

*给定函数形式f(t)，就可以计算各级系数an、bn。第八页，共四十页，编辑于2023年，星期三第九页，共四十页，编辑于2023年，星期三周期性方波可以看成有许多正弦波叠加而成。*逐步逼近理想方波。第十页，共四十页，编辑于2023年，星期三第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三MatLab软件绘图第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三

周期性变化的物理量在线性系统中的作用，等效于一组正弦变化的物理量分别单独作用后的线性叠加。例如：周期性电信信号输入一个线性电路，其输出信号可以根据正弦信号的求解方式去处理。例如：锯齿波信号：3频谱分析

一）、傅立叶级数

1）．物理意义：

第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三其时域波形：其频域分布：*以上图形为20KHz占空比70%锯齿波信号时域波形和频域分布。纵轴为归一化幅度。*MatLab软件应用（10KHz）

（ms）

第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三其中：（n=0，±1，±2…）2）.复数表示第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三正弦变化的物理量可以表现为旋转矢量在实轴上投影(u=u0cosωt)。也可以看成两个互为反向同频旋转的矢量叠加。∴变换中必然出现负频率的数学表述。（双边带现象）3）.负频率的物理意义第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三数学理论证明：“一个实函数的傅立叶变换F（ω）=F（-ω）”物理量一般都是实函数，满足F（ω）=F（-ω），频域上为偶函数。∴通信系统只需考虑信号一个边带就可以了解整个信号的全部特点。第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三信号的频谱可以用仪器观测信号源f(t)示波器频谱仪*频谱仪只观测到正频谱。*频谱仪往往给出信号的功率谱。第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三ⅰ当f(t)=f(-t)(偶函数)，则bn=0，只含余弦项（ancos(2nπt/T)）。当f(t)=-f(-t)(奇函数)，则an=0，只含正弦项（bnsin(2nπt/T)）。ⅱ若f(t+T/2)=-f(-t)（奇谐函数）则n=2k+1其中k=0，1，2，…只含奇次谐波若f(t+T/2)=f(-t)（偶谐函数）则n=2kk=1，2，…只含偶次谐波4）．傅立叶级数的数学和物理特点：第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三iii.频率间隔iv.周期性函数的频谱是离散的。若f(t)=f(t+nT)则傅立叶变换：其中：各个频谱的频率数值：第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期三

*利用δ（t）函数描述周期信号的频谱*可见，Cn是一个具体数值（取决于积分）*n=±N∴求和中出现函数的频谱可以写成离散函数第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三*其特点是基频的整数倍。*n=0为直流成分；n=1为基频成分；*n的其他数值为信号的高频成分（谐波分量）。*T越小（频率越高），则频谱间隔越宽。而T越大（频率越低），则频谱间隔越窄。（由此可以引出傅立叶积分）第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三v.离散序列的频谱是周期性函数。本节重点： ①周期函数可以用展开，（为频谱）

②周期函数的频谱是离散的

第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三练习：计算余弦函数的傅里叶级数已知：求：解：其中，且∴第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三其中同理：∴Cn

=

第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三考虑到余弦函数的傅立叶级数系数此函数只有当n=±1时不为零！∴C±1=A/2

Cn=0（n≠±1）此式说明：(1)余弦函数的频谱是两条孤立谱线(2)谱线对应频率±ω0

ω-ω00ω0A/2第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三(3)余弦函数的频谱可以写成第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三非周期信号可看成的一种周期的极限函数。即：频率间隔

。级数求和转化为积分。

二）．傅立叶积分变换第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期三

时域函数timedomain频域函数frequencydomain

*有时采用为系数，以示f(t)与对称性。定性讨论时系数常常忽略！

1）．数学描述第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期三ⅰ）非周期信号的频谱是连续的函数。

ⅱ）F（ω）dω是频率ω的幅度，∴F（ω）为频谱密度。ⅲ）信号以f（t）表述或用F（ω）表述是等效的。（怎么方便怎么用）

*当频域函数是f(ω

)，则F(-t)就是原函数。2）．物理意义第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期三例：几种常用的变换关系

ⅰ）方波

经过傅里叶变换At-τ/2τ/2第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期三%Sinc函数的图像%简单程序A=1;ta=1;w=sym('w');t0=5;fplot('sin(2*pi*w/2)/(2*pi*w/2)',[0,t0],'r');%ezplot(sin(w)/w,[0,15]);holdonfplot('0*w',[0,t0]);MatLab软件Sinc函数图像的例程第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期三*时

，得到第一零点。此时此变换有如下特性*τ越大（时域），2π/τ越窄（频域）τ越小，则2π/τ越宽。

第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期三ⅱ）冲击函数其特点：及其傅里叶变换：ⅲ）书P27表2-1给出许多常用函数的傅里叶变换。用时可以查表。第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期三*时移特性：

（左+、右-）振幅不变；相位移动。

*频移特性：

（时域看相当于调制）

*微分、积分特性（参见书P28表2-2）3）.傅里叶变换的特性第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期三对于周期信号宜由功率谱描述其中，f(t)为复函数，∴∣f(t)∣2=f(t)f*(t)相应的傅立叶变换4.功率谱和能量谱

1）.功率谱：第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期三由e指数积分的正交特性平均功率可以写成*∣C∣2即为周期信号的功率谱*怕什瓦尔定理：周期信号的平均功率与信号各谐波分量的平方和成正比*信号的总功率可以看成各个谐波分量单独作用的总和。（线性电路有效）第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期三对于非周期信号宜由能量谱描述