东莞市虎门中学高三月冲刺模拟考试数学（理）试题（一）含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试（一）数学（理科)命题人：李伟权2013.05一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，，，则（）A．B．C．D．2．已知是实数,是纯虚数，则(）A．B．C．D．3．已知向量，若，则实数（）A．B．C．D．4．下列函数在其定义域上是奇函数的是（)A．B．C．D．5．数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（） A． B．C．或D．6．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(）A．B．C．D．7．右图中，为某次考试三个评卷人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时,（）A．7B．8C．10D．118．已知符号函数，那么的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题）9．不等式的解集是．10．已知抛物线方程有,若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则．11．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题：①若，则；②若，则;③若，则;④若，则．其中,正确的命题是．12．的展开式中的常数项为．13．设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为．（二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为．15．(几何证明选讲）如图4所示，圆上一点在直径上的射影为,,则圆的半径等于．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分)已知平面直角坐标系上的三点，为坐标原点,向量与向量共线．(1)求；（2）求的值．17．（本小题满分12分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为,一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？18．(本小题满分14分）一个三棱锥的三视图、直观图如图．（1）求三棱锥的体积;（2）求点C到平面SAB的距离；（3)求二面角的余弦值．19．(本小题满分14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下,大桥上的车流速度（单位:千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度保持为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．(1）当时，求函数的表达式；（2)当车流密度为多大时,车流量可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．（车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/小时)20．（本小题满分14分)如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1)求椭圆的方程;（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3)设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证：为定值．21．(本小题满分14分）已知函数，设在点N＊）处的切线在轴上的截距为,数列满足：N＊）．（1)求数列的通项公式;（2）在数列中，仅当时，取最小值,求的取值范围;(3）令函数，数列满足：，N＊），求证：对于一切的正整数，都满足：．2013年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试（一）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．题号12345678答案DBADCCBD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9．或；10．．11．④；12．2；13．；（二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题)14．;15．．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，—2；，，故的分布列为:621-20.630。250.10.02（2）（3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为依题意,,即,解得所以三等品率最多为。18．（本小题满分14分）(1）由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，．如图．(1）三棱锥的体积．解法一：以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求,，设是平面SAB的一个法向量，则，取，（2)可知，设点C到平面SAB的距离为,则．（3）可知是平面ABC一个法向量,故,二面角的余弦值为．解法二：（2）可求,，，△SAB的面积，设点C到平面SAB的距离为，由三棱锥的体积，得．（3）作于H，作交AB于E，则,连接SE,因OE是SE在底面ABC内的射影，而,故,为二面角的平面角．△ABC中，易求，由△ABC的面积，，，△AEO与△AHC相似，相似比为AO:AC=3：4,故,中,，故，二面角的余弦值为．19．（本小题满分14分）解:(1）由题意，当时，当时，设由已知得解得.。（2）依题意得当时，为增函数，故。当时，时，取最大值.答：车流密度为100辆/千米时,车流量达到最大值3333辆/小时．20．（本小题满分14分）解:（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．（2）方法一:点与点关于轴对称，设，,不妨设．由于点在椭圆上，所以．(*）由已知，则，，．由于，故当时，取得最小值为．由（*)式,,故，又点在圆上,代入圆的方程得到．故圆的方程为：．方法二：点与点关于轴对称，故设，不妨设，由已知，则．故当时，取得最小值为，此时，又点在圆上，代入圆的方程得到．故圆的方程为：．（3）方法一:设,则直线的方程为：，令，得，同理:，故（＊*）又点与点在椭圆上，故，，代入（**)式，得:．所以为定值．方法二:设，不妨设，，