东莞市高二下学期期末考试数学理（A卷）试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013—2014学年广东省东莞市高二(下）期末试卷(A卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．每小题各有四个选项支,仅有一个选项支正确）1．（5分）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），(x2,y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是(） A． 由样本数据得到的回归方程=x+必过样本点的中心（，） B． 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C． 用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果,R2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D． 用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越大,说明模型的拟合效果越好2．（5分）复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数z为() A．2﹣i B． 2+i C． 4﹣2i D． 4+2i3．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P(ξ＜0）=0。4,则P(ξ＜2）=（） A．0.1 B． 0.2 C． 0。4 D． 0。64．（5分）用反证法证明命题:“若a、b、c是三连续的整数,那么a、b、c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是（） A．假设a、b、c中至多有一个偶数 B． 假设a、b、c中至多有两个偶数 C．假设a、b、c都是偶数 D． 假设a、b、c都不是偶数5．（5分）曲线y=ln（x+1)在x=0处的切线方程是（) A．y=x B． y=﹣x C． y﹣x D． y=2x6．（5分)若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0)=，则E（3X+2)和D(3X+2）的值分别是（） A．4和2 B． 4和4 C． 2和4 D． 2和27．（5分）(x+）11的展开式中，常数项是() A．第3项 B． 第4项 C． 第7项 D． 第8项8．（5分)计算：|1﹣x2|dx=（） A．﹣ B． C． 2 D． 9．（5分）7人排成一排,限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻,乙、丙不相邻,则不同排法的种数是（） A．60 B． 120 C． 240 D． 36010．（5分）设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1,0)时取得极大值，当x=x2∈（0,1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为(） A．﹣3，1） B． （﹣2,1） C． （﹣1，1） D． （﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．11．(5分）某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于中位数的列联表如下:高于中位数低于中位数总计男20727女101323总计302050为了检验性别是否与身高有关系,根据表中的数据，得到k2的观测值k=≈4。84，因为K2≥3。841，所以在犯错误的概率不超过_________的前提下认为性别与身高有关系．12．（5分)若（1﹣2x）2014=a0+a1x+…+a2014x2014,则++…+=_________．13．（5分）等比数列｛an}中,a1=1，a2=2，f（x）=x（x﹣a1）(x﹣a2）（x﹣a3)（x﹣a4)，f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=_________．14．(5分）从装有n+1个球（其中n个白球,1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n,m,n∈N）,共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=_________．(1≤k＜m≤n,k，m，m∈N）．三、解答题：本大题共6小题,共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知z是复数,若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1﹣2i）为纯虚数．(1）求复数z；（2)若复数(z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．16．（12分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分)与物理偏差y（单位:分）之间的关系进行分析,随机挑选了8位同学,得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x20151332﹣5﹣10﹣18物理偏差y6。53。53。51.50。5﹣0.5﹣2。5﹣3。5(1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91。5分，试由（1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：=20×6.5+15×3。5+13×3.5+3×1。5+2×0。5+（﹣5）×（﹣0.5)+(﹣10）×（﹣2.5）+(﹣18）×（﹣3。5）=324x=202+152+132+32+22+（﹣5）2+(﹣10)2+（﹣18）2=1256．17．（14分）抽奖游戏规则如下:一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5"，另外4个球上写有数字“10”．（1）每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；(2)若抽奖者每交2元钱（抽奖成本)获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖．试求抽奖者收益ξ（奖品价值﹣抽奖成本)的期望．18．（14分）已知f（x）=alnx，g（x)=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=和x=2处有极值．（1）求实数a，b，c的值;（2）若k＞0,判断g（x）在区间（k,2k）内的单调性．19．（14分）将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10,17，…记为数列{an}（n∈N+），第一数列1，4，9，16，25，…记为数列｛bn}（n∈N+）（1)写出数列{an}，{bn}的通项公式;（2）若数列｛an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，用数学归纳法证明:3（Tn+Tn)=2n3+4n(n∈N+)；（3）当n≥3时，证明：＜+++…+＜．20．（14分）定义：若曲线y=f(x）与y=g(x）都和直线y=kx+b相切,且满足:f(x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x)恒成立,则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线"．已知f（x)=﹣x2，g(x）=ex．(1）试探究曲线y=f(x）与y=g(x)是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在,请说明理由;（2)g′(x）是函数g（x）的导设函数，P（x1,g（x1）)，Q(x2，g(x2)）是函数y=g(x)图象上任意两点,x1＜x2，且存在实数x3，使得g′(x3）=,证明:x1＜x3＜x2．

2013—2014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A卷)参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．题号12345678910答案CBDDAABCCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题,共80分．15．（本小题满分12分）解：（1）设．………1分由为实数，得，即．……2分又，…………3分由为纯虚数，得,…………5分∴,………6分∴．……7分（2）∵，………9分根据条件，可知…………10分解得，………11分∴实数的取值范围是．………12分16．（本小题满分12分）解：(1）由题意,，……1分，……2分所以，………4分，…………6分故关于的线性回归方程：．…………7分（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．………8分而数学偏差为128-120=8,…………9分∴,……10分解得,……11分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．………12分17．(本小题满分14分）解:（1）由题意，每次摸球写有数字“5"的概率为．…1分四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5",另两次写有数字“10”.…………2分设为4次摸球中写有数字“5”的次数，则，…3分所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：．……5分（2）由题意，抽奖者获得的收益可取18元、0元、-2元.……6分从8个球中任取4个球的结果数为，其中恰好有个球写有数字“5”的结果数为，所以从8个球中任取4个球，其中恰好个球写有数字“5"的概率为：，，…………8分所以，………9分，…………10分，……11分因此，随机变量的分布列为180—2…………12分.………13分所以，（1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为；（2)抽奖者收益的期望为元.…14分18．（本小题满分14分）解:（1）由，得,∴，即，∴.…2分∴，从而。……3分∵在和处有极值，∴,，……5分解得:，,…………7分经检验：，满足题意.…………8分(2）由（1），，。令,得或;令，得.∴在，上单调递增，在上单调递减。……9分若，即时，在区间内的单调递增;…10分若，即时,在区间内的单调递增，在区间内的单调递减；…………11分若，即时，在区间内的单调递减；…12分若，即时,在区间内的单调递减，在区间内的单调递增；………13分若,在区间内的单调递增。………14分（本小题满分14分）解：(1）由，得：，…3分.…………4分（2）①当时,,∴，又，∴时等式成立；……5分②假设时等式成立，即，则时，，∴时等式也成立．…………8分根据①②，都成立．……9分（3）当时,，∴．……11分又．综上可知：成立．………14分20．（本小题满分14分）可解：（1）假设曲线与存在“内公切线",记内公切线与曲线的切点为,则切线方程为：．………2分又由可得:．………3分由于切线也和曲线相切，所以．．…………4分当时，；当时，;当时，．所以，故公切线的方程为:．…………5分下面证明就是与内公切线，即证．∵，∴成立．