江苏省南京市高淳县漆桥中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

江苏省南京市高淳县漆桥中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列中，则此数列前20项和等于（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.函数的零点所在的一个区间是

(

）A．（一2，一1）

B．（一1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）参考答案：B3.在平行四边形中，，，，为的中点，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1，其中的值为

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A5.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）[来源:学|科|网Z|X|X|K]参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．6.椭圆y2+=1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1） B．（0，] C．[，1） D．（0，]参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得短轴顶点B与焦点F1，F1所成角∠F1BF2≥90°，从而≥m，由此能求出m的取值范围．【解答】解：∵椭圆y2+=1（0＜m＜1）上存在点P使得PF1⊥PF2，∴短轴顶点B与焦点F1，F1所成角∠F1BF2≥90°，∴≥m，由0＜m＜1，解得0＜m≤．故选：B．7.设集合，集合，且，则实数的取值范围是…………………（

）．.

.

.参考答案：C8.根据右边的程序框图，输出的结果是

（

）

A．15

B．16

C．24

D．25参考答案：B略9.已知数列{an}中，，，，，，，，则数列{an}的前n项和Sn=（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D10.等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而{an}的前9项和S9==，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{an}的前9项和S9===．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.dx=

．参考答案：π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理的几何意义即可得出．解答： 解：令y=，画出图象：由微积分基本定理的几何意义可得：=π．故答案为π．点评：熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键．12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为

参考答案：(1,2]

略13.若幂函数的图象经过点，则该函数在点A处的切线方程为

．参考答案：14.已知函数满足：

.参考答案：略15.直线过抛物线的焦点，且与抛物线的交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是

。 参考答案：16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的值为2，则输出的结果

.参考答案：17.房屋的天花板上点P处有一光源，P在地面上的射影为Q，在地面上放置正棱锥S—ABCD，底面ABCD接触地面，已知正四棱锥S—ABCD的高为1米，底面ABCD的边长为米，Q与正方形ABCD的中心O的距离为3米，又PQ长为3米，则棱锥影子（不包括底面ABCD）的面积的最大值为

。（注：正四棱锥为底面是正方形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题：在内，不等式恒成立；命题：函数是区间上的减函数.若命题“”是真命题，求实数的取值范围．参考答案：

19.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1消去参数θ，可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化为极坐标方程．（II）把直线l的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆的极坐标方程即可得出．【解答】解：（I）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得：（x﹣2）2+y2=4，展开为：x2+y2﹣4x=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）把直线l的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆的极坐标方程可得：ρ=4=2．由于圆与直线都经过原点，因此直线l被曲线C截得的线段长=|OP|=2．20.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，为等差数列，且，．(Ⅰ)求数列和通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和．参考答案：．．21.如图1，在矩形中，,分别是,的中点，沿将矩形折起，使，如图2所示：

（Ⅰ）若,分别是,的中点，求证：//平面；（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．

参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）思路一：取中点，连结、，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形.思路二：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形，又平面，平面，//平面.思路三：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，，得到//平面，//平面，由平面//平面即得.（Ⅱ）根据

得到平面，又，推出为等边三角形，计算得到试题解析：（Ⅰ）法一：取中点，连结、

………1分,分别是,的中点，且，，且四边形为平行四边形，……4分又平面，平面//平面

………………6分法二：取中点，连结,

………1分,分别是,的中点，且，，且，四边形为平行四边形

………4分又平面，平面//平面

…6分

法三：取中点，连结,…………1分,分别是,的中点，，又平面，平面平面,平面//平面，//平面……4分，平面//平面而平面//平面

……6分（Ⅱ）

平面

……………………8分又，，且

为等边三角形而中，

，

…………………10分故三棱锥的体积为．

……………12分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积.22.已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P（a，0）为x轴上的点．（1）过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；（2）如果存在过点F的直线l′与抛物线交于A，B两点，且直线PA与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．参考答案：(1)切线的方程为或;(2).试题分析：