【高中数学】集合的概念（第一课时课件） 2023-2024学年高一数学同步备课（人教A版2019必修第一册）

第一章

集合与常用逻辑用语1.1.1集合的含义高中数学/人教A版/必修一知识篇素养篇思维篇1.1.1集合的含义

什么是集合？1看下面的例子：(1)1~11之间的所有偶数；(2)方程

x2-2x-3=0的所有实数根；(3)所有的正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的所有的点；(5)立德中学今年入学的全体高一学生.一般地，我们把研究对象统称为元素；

把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)

以上例子中，我们研究的对象分别是什么？抽象与概括思考概念

1)确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的.

也就是说，给定一个集合，那么一个元素

在或不在这个集合中就确定了.

“我们班的所有高个子男同学构成一个集合”这个说法对吗？

为什么？

“我们班的所有男同学构成一个集合”这个说法对吗？为什么？

对！

满足确定性

不对！

不满足确定性元素的特性用数学眼光看问题

集合中元素的特性22)互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

下图中不同信号灯颜色组成的集合中，元素的个数是多少？

为什么？

3个

重复的只能算作一个元素的特性用数学眼光看问题

集合中元素的特性23)无序性同一个集合中的元素列举时无需讲究先后顺序.

特别地，只要构成两个集合的元素相同，就称这两个

集合相等，与元素出现顺序无关.

2)单词“eat”所含字母构成的集合与单词“tea”所含字母

构成的集合是否相等？为什么？

1)电话号码“120”所含字符构成的集合与号码“122”所含

字符构成的集合是否相等？为什么？

不相等！元素不完全相同

相等！元素完全相同

元素的特性用数学眼光看问题

集合中元素的特性2微清单元素的特性集合相等

两个集合所含元素相同

集合中元素的特性2给定集合，它的元素必须是确定的.也就是说给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了.确定性互异性无序性一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合中的元素没有前后顺序.练一练1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由.

(1)大于0且小于10的奇数；(2)我国境内的高山.（1）是，确定由1，3，5，7，9五个元素组成的集合.

(1)错误！不满足集合元素的互异性．2.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)由0，∣∣，1,0.5组成的集合包含4个元素；(2)由3，1，4与1，4，3分别组成的集合是不同的集合.(2)错误！依据元素的无序性，这两个集合相等．（2）否，“高山”不具有确定性.

我们通常用大写拉丁字母A、B、C…表示集合；用小写拉丁字母a、b、c、…表示集合中的元素.

元素、集合的表示及关系3

如果a是集合A中的元素，就说a属于A.

记作a∈A

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A.

记作a∉A练一练∈∉∉∈

用符号“∈”或“

∉”填空：

1）若所有奇数组成集合A,则

2

A，3

A；2）若所有小于4的实数组成集合B，则

B,

B.N*NZQR数学中一些常用的数集及其记法自然数集N正整数集N*

或

N+整数集Z有理数集Q实数集Rvenn图常用数集4文字语言符号语言图形语言练一练

用符号“∈”或“

∉”填空：

0

N;-3

N;0.5

Z；

Z；

Q;

π

R.

提醒：0∈N,但0∉N*.∈∈∈∉∉∉新知梳理元素及其表示研究的对象；

小写拉丁字母集合及其表示元素组成的总体;

大写拉丁字母元素与集合的关系元素的特性确定性互异性无序性集合相等两个集合所含元素相同知识篇素养篇思维篇1.1.1集合的含义

1.下列各判断是否正确？为什么？

数集的性质问题解决策略：1）要否定判断，举一个反例即可；2）要肯定判断，可对照定义、定理等依据；也可以通过推理给出证明；

3）注意０等特殊元素的特殊性，利用数学直观作为思考先导.问题分析方法总结(1)若x∈N，y∈N，则(x+y)∈N*；(2)若xy∈Z，则x∈Z，y∈Z；(3)若x∈Z，y∈Z，则∈Q；(4)

若x，y均为无理数，则xy∉Q.(1)×

反例：x=y=0；(2)×反例：x=2,y=0.5；(3)×反例：y=0；(4)×反例：x=y=.核心素养之

直观想象+数据分析

元素个数问题常用策略：1）直接列举；（本题列举过程中用到了数值迭代）2）通过转化与化归，得到元素的范围后再计数；

3）通过递推等手段，使条件显性化，再确定元素．

问题分析方法总结

2.

设A是一些实数组成的集合，满足条件：若a∈A，则∈A，且2∉A.

(1)

若1∈A，则A中元素个数为

.

4

2-a31∈A

4∈A

-2∈A

1∈A核心素养之

数据分析

+逻辑递推

这里将元素个数问题转化为方程是否有解的问题．

用到了方程思想．问题分析方法总结

不能!因为方程a=无实数解.4

2-a

2.

设A是一些实数组成的集合，满足条件：若a∈A，则∈A，且2∉A.

(2)

A能否只包含一个元素？为什么？

4

2-a核心素养之

数据分析

+逻辑递推5

这里元素个数问题的解决分两步：先确定元素范围，再对照条件列举验证．用到了重要的策略：有序思考.问题分析方法总结

先定量判断：-4≤2-a≤4

且a≥0

再有序列举：a=0时，符合；a=1时，符合;a=2时，无意义；a=3时，符合；a=4时，符合；a=5时，不符合；

a=6时，符合.

变题

设A是一些实数组成的集合，若a∈A，则

a∈N,且∈Z.则A中元素最多有

个.5核心素养之

数据分析

+逻辑递推知识篇素养篇思维篇1.1.1集合的含义

当a=0,或a=1,或a=a2时，A只有两个元素0和1，不符!

当a2=0时，a=0,不符！

当a2=1时，a=1或-1

若a=1，不符！

若a=-1，则A中有三个元素0,1,-1,符合条件.

综上所述，得a=-1.

元素含字母问题常用解决策略：分类讨论1）有序思考：不重复，不遗漏；

2）分层讨论：先按大类讨论，若需要某一类内部可再讨论；3）检验互异性：对照已知条件判断合理与否.问题分析方法总结

1.已知0∈A，1∈A，a∈A,a2∈A，且A是包含三个元素的集合，求实数a的值.数学思想之

分类讨论U是以C为圆心、以2为半径的圆内(含边界)的点的集合(点集).由已知及图形分析得：CP=<2，CQ=2.5>2,故P

U、Q

U.点集问题解决策略：数形结合1）将条件中的符号语言翻译成文字语言和图形语言；

2）结合图形，确定点集对应的区域；3）点与点集的关系，取决于点到关键点或线的距离.问题分析方法总结2.如图，△ABC中，AB=5,BC=4,CA=3;已知U是△ABC所在平面内所有满足CM≤2的点M组成的集合.若点P、Q分别是△ABC的内心和外心，则P

U，Q

U.（填“∈”或“∉”）

∉∈数学思想之

数形结合问题分析方法总结

这里同时用到了分拆、递推与循环迭代；

对于选项D的排除，用到了反证法思想.

3.

已知集合A中的元素都是正整数，且满足条件：对任意正整数x、y，若x+y∈A，则xy∈A.

已知4∈A，则A中元素个数有可能是（）A.2个B.3个C.4个D.5个.一方面，可将4逆向拆成1+3，或2+2，或3+1；由已知1+3∈A，得1×3=3∈A；由3=1+2，得1×2=2∈A；由2=1+1∈A，得1×1=1∈A.故A中至少有四个元素.另一方面，对于选项D，若A中还有第5个元素m，则m≥5，

因为m可拆成2+(m-2),且2(m-2)-m=m-4≥1，所以2(m-2)∈A，故A中将会出现第6个元素2(m-2).与选项