鸡兔同笼-教师版

鸡兔同笼第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解鸡兔同笼的基本步骤1.砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多。因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，鸡的只数就是（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。2.假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数3.鸡兔关系：当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二部分：例题精讲【例1】鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设只都是兔，一共应有（只）脚，这和已知的只脚相比多了（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）。【答案】鸡28只，兔18只【例2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：（只），假设鸵鸟和大象一样也有只脚，则应该有（只）脚，多了（只）脚，由假设引起的差值：（只），则鸵鸟数为（只），大象数为（头）。【答案】鸵鸟10只，大象8头【例3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚只，鸵鸟比梅花鹿多只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的只的脚数得：(只)。这只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：(只)，所以梅花鹿的只数是：(只)，从而鸵鸟的只数是：(只)．【答案】鸵鸟48只，梅花鹿28只(千克)；这是一天也就是小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘(千克)，比实际多采了(千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采(千克)。因此可以求出小猴子有：(只)。【答案】小猴子有20只【例10】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的倍多只，每次从箱子里取出只白球、只红球．如果经过若干次以后，箱子里剩下只白球、只红球．那么箱子里原有红球多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设每次一起取只白球和只红球，由于每次拿得红球都是白球的倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的倍多。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的倍多，即(只)。但是实际上最后剩了只红球，比假设多剩只，因为每一次实际取得与假设相比少只，所以可以知道一共取了(次)。所以可以知道原来有红球(只)。【答案】红球有158只【例11】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为(条)，所差(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(只)蜘蛛。这样剩下的(只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数(对)，比实际数少(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求(只)。【答案】蜻蜓有7只【例12】从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米？【考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程45×2=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。把上坡和下坡合并成"一种"路程,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题。因此平路所用时间是(90-4×21)÷(5-4)=6(小时)。单程平路行走时间是6÷2=3(小时)。从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是45-5×3=30(千米)。又是一个"鸡兔同笼"问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是(6×7-30)÷(6-3)=4(小时)。行走路程是3×4=12(千米)。下坡行走的时间是7-4=3(小时)。行走路程是6×3=18(千米)。【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米第三部分：课堂检测【检测1】体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？【考点】鸡兔同笼【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：（件），上衣：（件）。【答案】上衣8件，裤子13件【检测2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【考点】鸡兔同笼【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住（人），而实际上住了168人。大宿舍比小宿舍每间多住（人），所以大宿舍有（间）。【答案】大宿舍有24间【检测3】春风小学3名同学参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题。【考点】鸡兔同笼【解析】三人共得(分)，比满分(分)少(分)因此三个人共做错：(道)题，一共答对了(道)题。【答案】一共答对了20道题。【检测4】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元／张，乙类票40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同．则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张?【考点】鸡兔同笼【解析】乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为35元／张的同一类门票。容易得到甲类门票售出（张），乙类、丙类各售出(400-100)÷2=150（张）。【答案】甲类售出100张，乙类售出150张，丙类售出150张第四部分：家庭作业【作业1】鸡兔共有只，关在同一个笼子中，笼中共有条腿。试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】若假设所有的只动物都是兔子，那么一共应该有(条)腿，比实际多算(条)腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有(只)鸡被当作了兔子，所以共有只鸡，有(只)兔子。【答案】鸡40只，兔子18只【作业2】100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人?【考点】鸡兔同笼【解析】如全为高年级学生，则只需41×2＝82（人），实际100人，100－82＝18（人），所以有18组低年级学生，41－18＝23（组）高年级学生，高年级学生为23×2＝46（人），低年级学生为18×3＝54（人）。【答案】高年级46人，低年级54人【作业3】某次数学竞赛，共有道题，每道题做对得分，没做或做错都要扣分，小聪得了分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼【解析】做错(道)，因此，做对的(道)．【答案】做对了17道【作业4】个和尚个馍，大和尚人分个馍，小和尚人分个馍．问：大、小和尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设人全是大和尚，那么共需馍个，比实际多(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少(个)，因为，故小和尚70人，大和尚(人)。【答案】大和尚30人，小和尚70人【作业5】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼【解析】假设50个油桶都是大桶，则共装油千克，而这小桶所装油则为0。这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了（千克），若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少（千克），所以小桶有：(个)，大桶有：(个)。【答案】大桶有20个，小桶有30个【作业6】一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？【考点】鸡兔同笼【解析】我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份)。现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7。"兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了。根据前面的公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,"鸡"数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.【答案】甲打字用了4.5小时【作业7】有红、黄、绿种颜色的卡片共有张，其中红色卡片的两面上分别写有和，黄色卡片的两面上分别写着和，绿色卡片的两面上分别写着和。现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为。若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成。问黄色卡片有多少张？【考点】鸡兔同笼【解析】开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是，红色卡片上是。如果全部是红色卡片，那么数字之和为：，比实际的少：。每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加：。那么，黄色和绿色卡片之和：（张），红色卡片有：（张）。翻转过来后，红色和黄色卡片上都是，绿色卡片上是。红色卡片有张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：。如果张卡片都是黄色的，那么这张卡片上的数字之和为：，